Petite énigme

par **Pseuda** » 23 Avr 2018, 08:13

Bonjour,

Une énigme que les cracks du forum résoudront en quelques instants :
Montrer que la suite

définie par

et

, est une suite de nombres entiers.

par **chan79** » 23 Avr 2018, 10:22

salut
supposons que

(c'est vrai pour n=0)

est donc entier quel que soit

par **Pseuda** » 23 Avr 2018, 12:33

Oui mais il s'agit de le résoudre sans utiliser une forme explicite de

(autrement dit, avec une relation de récurrence).

par **Ben314** » 23 Avr 2018, 13:07

Salut,

Donc pour que

pour tout

il faut et il suffit que

et

soient entiers donc

doit être le carré d'un entier qui est forcément impair :

.
Ce qui donne (étonnamment...)

puis

par **Pseuda** » 23 Avr 2018, 15:08

Ok Ben314 ! Si je décortique ta solution, la clé c'est de montrer que

est un carré, et c'est donc naturel de calculer

. Et ta solution est plus générale que l'énoncé.

La mienne :

donc

puis :

,
et par différence des 2 dernières formules :

.
On obtient (comme la suite est strictement croissante) la formule de récurrence :

.
Les termes de la suite sont donc tous entiers.