Petite énigme
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Pseuda
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par Pseuda » 23 Avr 2018, 09:13
Bonjour,
Une énigme que les cracks du forum résoudront en quelques instants :
Montrer que la suite
définie par
et
, est une suite de nombres entiers.
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chan79
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par chan79 » 23 Avr 2018, 11:22
salut
supposons que
(c'est vrai pour n=0)
est donc entier quel que soit
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Pseuda
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par Pseuda » 23 Avr 2018, 13:33
Oui mais il s'agit de le résoudre sans utiliser une forme explicite de
(autrement dit, avec une relation de récurrence).
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Ben314
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par Ben314 » 23 Avr 2018, 14:07
Salut,
Donc pour que
pour tout
il faut et il suffit que
et
soient entiers donc
doit être le carré d'un entier qui est forcément impair :
.
Ce qui donne (étonnamment...)
puis
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Pseuda
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par Pseuda » 23 Avr 2018, 16:08
Ok Ben314 ! Si je décortique ta solution, la clé c'est de montrer que
est un carré, et c'est donc naturel de calculer
. Et ta solution est plus générale que l'énoncé.
La mienne :
donc
donc
puis :
,
et par différence des 2 dernières formules :
.
On obtient (comme la suite est strictement croissante) la formule de récurrence :
.
Les termes de la suite sont donc tous entiers.
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