Nombres entiers positifs

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alice02
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nombres entiers positifs

par alice02 » 06 Oct 2017, 13:43

Déterminez toutes les paires des nombres positifs entiers tels que

est un nombre entier.



pascal16
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Re: nombres entiers positifs

par pascal16 » 06 Oct 2017, 14:39

(0;0) is one, maybe not the only one.

alice02
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Re: nombres entiers positifs

par alice02 » 06 Oct 2017, 14:45

no is good. Because the numbers must be

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chan79
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Re: nombres entiers positifs

par chan79 » 06 Oct 2017, 14:46

(5;3),(1;3),(2;1),(1;2),(3;1),(2;2),(5;2),(2;5),(3;5)

alice02
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Re: nombres entiers positifs

par alice02 » 06 Oct 2017, 14:46

Yes, but someone can post an analitic solution?
Thanks :)

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Ben314
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Re: nombres entiers positifs

par Ben314 » 06 Oct 2017, 16:28

alice02 a écrit: no is good. Because the numbers must be
Be careful : for french mathematicians a "positive" number X mean a number such that .
See for exemple the "bible" of the (french) mathematics (but not only French...), N.Bourbaki where you can read
"0 is the only number witch is both positive and negative".

And if you want to understand why there is such a difference, it's because in France, the only definition we have for a (binary) partial order is "Reflexive + Transitive + Antisymetric" so is a partiel order, but is not a partial order.
In English, there are two definitions : one for "non strict partial order" and one for "strict partial order".

And if I say to be carreful, it's because it's the same problem for other partials orders such as "to be a subset of" : When a french mathematician write , that's always mean .
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alice02
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Re: nombres entiers positifs

par alice02 » 06 Oct 2017, 16:51

Ah ok Ben314, I didn't know it.
But someone can post a resolution?
Thanks :)

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Ben314
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Re: nombres entiers positifs

par Ben314 » 06 Oct 2017, 17:43

Sinon, pour tout
avec (sinon )
Il faut donc résoudre .
Le discriminant (en ) doit être le carré d'un entier .
- On a évidement vu que .
- Mais d'un autre coté, on a la série d'équivalences suivantes (modulo que ) :
.
Ce qui signifie que, si , la seule possibilité pour est sauf que cette dernière équation conduit (en l'élevant au carré) à clairement sans solution (problème de parité).
Reste à traiter les cas où (c.f. EDIT çi dessous)

P.S. : Il y a surement d'autres méthodes un peu moins "rustres" (par exemple utilisant la divisibilité)...

EDIT :
- Pour y=1, l'unique solution est b=5 (et =1) qui conduit à x=2 ou bien x=3.
- Par symétrie, pour b=1, l'unique solution est y=5 qui conduit à x=2 ou bien x=3.
- Pour b=y=2 l'unique solution (double) est x=2
- Pour b=2; y=3 on a deux solutions x=1 ou bien x=5.
- Par symétrie, pour b=3; y=2 on a aussi deux solutions x=1 ou bien x=5.
Donc sauf erreur 9 solutions : (x,y) { (1;2) ; (1;3) ; (2;1) ; (2;2) ; (2;5) ; (3;1) ; (3;5) ; (5;2) ; (5;3) }
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

alice02
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Re: nombres entiers positifs

par alice02 » 06 Oct 2017, 20:02

I don't understand all passages... :(
Can you traslate in english?
Thanks :)

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Ben314
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Re: nombres entiers positifs

par Ben314 » 06 Oct 2017, 20:57

Lostounet, il est très fort en anglais...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

alice02
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Re: nombres entiers positifs

par alice02 » 06 Oct 2017, 21:10

Ok. :)

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Re: nombres entiers positifs

par Lostounet » 06 Oct 2017, 21:24

Lostounet, il est très fort en anglais...


Translating Ben's post:

Okay, other than that, for all
with (otherwise)

We therefore have to solve the quadratic equation .
Computing its discriminant, we get: which has to be the square of some integer .
- Obviously since .
- On the other hand, we have the following series of logical equivalences (granted that ) :
.
Which means that, if , the only possibility for is however, squaring both sides of the last equation yields which clearly has no solutions (parity incompatibility).
The only cases left to study are (look below)

P.S. : I'm sure there are other less "crude" methods (using divisibility properties of the integers for example)

EDIT :
- For y=1, the only solution is b=5 (and =1) which leads to x=2 or x=3.
- By symmetry, for b=1, the only solution is y=5 which leads us to x=2 or x=3.
- For b=y=2, the only (repeated) solution is x=2
- Take b=2; y=3 we have two solutions x=1 or x=5.
- By symmetry, for b=3; y=2 we also have two solutions x=1 or x=5.
So basically we have 9 solutions : (x,y) { (1;2) ; (1;3) ; (2;1) ; (2;2) ; (2;5) ; (3;1) ; (3;5) ; (5;2) ; (5;3) }

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Re: nombres entiers positifs

par Ben314 » 06 Oct 2017, 21:28

Merci Lostounet.... :amen:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

infernaleur
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Re: nombres entiers positifs

par infernaleur » 06 Oct 2017, 23:28

Lostounet a écrit:
Lostounet, il est très fort en anglais...


Translating Ben's post:

Okay, other than that, for all
with (otherwise)

We therefore have to solve the quadratic equation .
Computing its discriminant, we get: (en ) which has to be the square of some integer .
- Obviously since .
- On the other hand, we have the following series of logical equivalences (granted that ) :
.
Which means that, if , the only possibility for is however, squaring both sides of the last equation yields which clearly has no solutions (parity incompatibility).
The only cases left to study are (look below)

P.S. : I'm sure there are other less "crude" methods (using divisibility properties of the integers for example)

EDIT :
- For y=1, the only solution is b=5 (and =1) which leads to x=2 or x=3.
- By symmetry, for b=1, the only solution is y=5 which leads us to x=2 or x=3.
- For b=y=2, the only (repeated) solution is x=2
- Take b=2; y=3 we have two solutions x=1 or x=5.
- By symmetry, for b=3; y=2 we also have two solutions x=1 or x=5.
So basically we have 9 solutions : (x,y) { (1;2) ; (1;3) ; (2;1) ; (2;2) ; (2;5) ; (3;1) ; (3;5) ; (5;2) ; (5;3) }


This traduction :o :lol:

alice02
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Re: nombres entiers positifs

par alice02 » 07 Oct 2017, 07:57

Thanks Lostounet!!
I promise you that I will study french! :)

 

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