Math et poker

[FeBo331]

Bonsoir les matheux,

Avant de vous expliquez le défi j'ai besoin de vous mettre dans le contexte :
Je suis un joueur de poker en ligne depuis quelques années maintenant, et je fais actuellement face à un problème et je pense que certains cracks sur ce forum peuvent m'aider.

Tout d'abord pour bien comprendre l'ensemble du problème j'ai besoin de vous expliquer rapidement quelques notion du poker (je pars du principe que vous connaissez au moins les règles du poker) :
Un joueur de poker online détermine son winrate sur un sample de mains conséquent avec une valeur appelée bb/100h. En gros on cherche a savoir le nombre de grosse blindes(bb) gagnés ou perdues toutes les 100mains en moyenne.
Par exemple si j'ai joué 150 000mains et que j'ai réalisé un profit total de 15 000bb j'ai un winrate de 10bb/100h.
Pour info, le prix de la blinde dépend de la limite dans laquelle on joue (ex: en Cash game No limit holdem, une grosse blinde de NL5 est 5ct, NL10 c'est 10ct ... etc)

Voici donc mon problème :
Je joue depuis longtemps sur winamax et pokerstars et ils m'autorisent à utiliser un tracker(un logiciel qui me donne toutes sortes de stats sur les joueurs quand je joue et qui enregistre toutes mes mains et bien entendu me tiens compte de mon winrate)
Seulement il ya quelques jours j'ai commencé à jouer sur unibet. Ce site n'autorise pas les trackers, il n'y a aucun moyen de savoir combien de mains je joue au total et donc connaitre mon winrate.
La seule chose que je peux savoir c'est combien j'ai gagné au total en bb (je joue uniquement en NL 10 donc je divise mon profit par 10ct et j'ai ma réponse)

Je ne vais pas compter manuellement chaque mains que je joue alors comment faire ?

J'ai pensé à compter le nombre de paires d'As que je touchais dans mes sessions (la je peux compter manuellement c'est plutot rare d'en avoir: p=1/221 ) puis multiplier par 221 pour avoir une estimation du nombre de mains que j'ai joué et ainsi avoir une idée de mon winrate.

Ma question est donc : à partir de combien de paire d'As je peux être confiant que l'estimation de l'échantillon de main et juste à disons 5% près ?

C'est la meilleur approche que j'ai trouvé. Après, libre à vous d'explorer d'autres idées pour déterminer le winrate

À plus ,
FeBo331

[lyceen95]

La proba d'avoir une paire d'as est de 1/221. ok ( j'ai vérifié)
On va déjà faire le calcul en sens inverse.
Si on joue 10000 donnes, combien de fois on va avoir une paire d'as : 10000/221=45.24 en moyenne
Et on a une 'incertitude' autour de cette moyenne.
La variance est np(1-p) avec n= le nombre de tirages , et p= 1/221
variance = 10000* (1/221)*(220/221)=45.04
Le nombre intéressant, c'est l'écart-type, c.a.d. la racine carrée de la variance
Ecart-type = racine(45)=6.7
On s'intéresse à 2 fois l'écart-type : 13.4
Et au final, on a un intervalle : de 45.24-13.4 à 45.24+13.4 , c'est à dire de 31.84 à 58.64

C'est quoi cet intervalle ?
Si tu joues 10000 donnes, tu as de grandes chances d'avoir entre 32 et 58 fois une paire d'as.
De grandes chances, mais ce n'est pas une certitude.

Si tu joues pendant 100 mois, en jouant 10000 donnes chaque mois, à la fin de chaque mois, tu comptes le nombre de fois où tu as eu une paire d'as, et tu remets les compteurs à 0, il y aura à peu près 95 mois où le tu seras dans cette fourchette 32à58, et donc 5 fois où tu seras en dehors.

Si tu joues 1 million de donnes, la moyenne sera 1000000/221=4524, mais en proportion, l'écart-type diminue :
Variance=1000000*1/221*220/221=4524
Ecart-Type=racine(4504)=67
Intervalle de confiance=[4524-67 ; 4524+67]=[4457 ;4591]
Jusque là, c'est le cours de stats, mots clés : Variance Loi Binomiale.

Maintenant, inversons le calcul. Tu ne sais pas le nombre total de donnes jouées, mais le nombre de fois où tu as eu une paires d'as.
On sort de la théorie (où en tout cas, on sort de ce que j'ai retenu, il faudrait réfléchir), mais on va faire une approximation qui me semble très correcte.

Tu joues plein de donnes, tu constates que tu as eu 80 paires d'as.
Tu fais une première estimation : 80*221=17680 donnes jouées.
Tu calcules la variance à partir de ce 17680 : V=17680*(1/221)*(220/221) =79.6
La racine carrée de cette variance : Ect=8.9
Et ce qui nous intéresse, c'est 2 fois l'écart-type : 2Ect=17.8
17.8, c'est en gros 20% de 80
On va donc conclure : il y a de très fortes chances que le nombre de donnes jouées soit entre 17680-20% et 17680+20%

PS : avant de cliquer sur 'Envoyer', je réalise que je me suis un peu planté. L'histoire de dire que les données sont majoritairement dans un intervalle de type moyenne Plus ou Moins 2 fois l'écart-type, c'est valable quand on a une belle courbe de Gauss, symétrique par rapport à la moyenne. Ici, ce n'est pas trop le cas. la courbe est assez dissymétrique. Si tu as des ordres de grandeurs comme ceux que j'ai utilisés (50 paires d'as, 10000 donnes jouées) tout va bien. Si tu es aux environs de 10 paires d'as, c'est faux.

J'ajoute ce lien, qui m'a fait réagir :

[FeBo331]

super merci pour ta réponse!