IMO 2024

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Keslssddsss
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IMO 2024

par Keslssddsss » 16 Juil 2024, 18:14

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Ben314
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Re: IMO 2024

par Ben314 » 19 Juil 2024, 09:50

Salut,
Peut tu mettre des liens valides pour les énoncés ? (là ils disparaissent au bout de quelques jours)

Sinon, pour le dernier, je pense avoir la solution : pour tout , on a :




Or et, en faisant tendre vers l'infini, on en déduit qu'on doit avoir , c'est à dire que doit être un entier pair. Et il est clair que, dans ce cas là, la propriété demandée est bien vérifiée.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Keslssddsss
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Re: IMO 2024

par Keslssddsss » 19 Juil 2024, 13:13

I don't know how to upload files here, so here's the link to the official problem statements.Je ne sais pas comment télécharger des fichiers ici, voici donc le lien vers les déclarations officielles du problème.

https://www.imo-official.org/problems.aspx

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vam
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Re: IMO 2024

par vam » 19 Juil 2024, 14:28

Bonjour

Il suffit de recopier ces énoncés et non les mettre en images.
merci.
Pour mettre une image, vous pouvez aller sur https://postimages.org/fr/
Vous choisirez ce qu'ils appellent le lien direct (lien de la seconde ligne), que vous placerez entre les balises Img.
:)

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Ben314
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Re: IMO 2024

par Ben314 » 19 Juil 2024, 18:02

Problème 1 : Déterminer tous les réels α tels que, pour tout entier n strictement positif, l’entier
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
soit un multiple de n. (On rappelle que ⌊z⌋ désigne le plus grand entier inférieur ou égal à z.
Par exemple, ⌊−π⌋ = −4 et ⌊2⌋ = ⌊2.9⌋ = 2.)

Solution à vérifier (où {x} désigne la partie fractionnaire du réel x, c'est à dire {x}=x-⌊x⌋)




Or et, en faisant tendre vers l'infini, on en déduit qu'on doit avoir , c'est à dire que doit être un entier pair. Et il est clair que, dans ce cas là, la propriété demandée est bien vérifiée.[/quote]
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catamat
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Re: IMO 2024

par catamat » 20 Juil 2024, 14:59

Bonjour
Ben314 a écrit:Solution à vérifier


Personnellement je n'avais aucun doute mais j'ai vérifié pas à pas avec soin et aucun problème bien sûr.

A la fin, lors du passage à la limite on en déduit aussi qu'à partir d'un certain rang

Mais bien sûr l'intérêt est que

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Ben314
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Re: IMO 2024

par Ben314 » 20 Juil 2024, 21:23

J'ai commencé à un peu regarder le problème 3 :
Soit une suite d’entiers strictement positifs, et soit un entier strictement positif. On suppose que, pour tout est égal au nombre de fois que la valeur apparaît dans la liste .
Démontrer que parmi les deux suites et , au moins une des deux est périodique à partir d'un certain rang.

L'énoncé me plait bien (on sait pas trop par quel bout attaquer), mais pour le moment, je suis sec . . .
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