Problème 1 : Déterminer tous les réels α tels que, pour tout entier n strictement positif, l’entier
⌊α⌋ + ⌊2α⌋ + · · · + ⌊nα⌋
soit un multiple de n. (On rappelle que ⌊z⌋ désigne le plus grand entier inférieur ou égal à z.
Par exemple, ⌊−π⌋ = −4 et ⌊2⌋ = ⌊2.9⌋ = 2.)
Solution à vérifier (où {x} désigne la partie fractionnaire du réel x, c'est à dire {x}=x-⌊x⌋)
}{2}\alpha=\sum_{k=1}^n\!k\alpha=\sum_{k=1}^n\!\big(\lfloor k\alpha\rfloor\!+\!\lbrace k\alpha\rbrace\big)\underset{Hyp.}{=}n\lambda_n\!+\!\sum_{k=1}^n\!\lbrace k\alpha\rbrace\ \big(\lambda_n\!\in\!\Z\big)\ \Rightarrow\ <br />\lambda_n\!=\!\left\lfloor \frac{n+1}{2}\alpha\right\rfloor)
\!\left\lbrace \frac{n}{2}\alpha\right\rbrace)

-(n\!-\!1)\varepsilon_n\mbox{ c'est \`a dire }\varepsilon_n\!=u_n\!+\!n\big(\left\lbrace \frac{\alpha}{2}\right\rbrace \!-v_n\big).)
Or

et, en faisant tendre

vers l'infini, on en déduit qu'on doit avoir

, c'est à dire que

doit être un entier pair. Et il est clair que, dans ce cas là, la propriété demandée est bien vérifiée.[/quote]