[Géométrie]Etrange solution

[Mhdi]

Salut,

Un exercice de géométrie :

Soit ABC un triangle quelconque et I le centre du cercle inscrit. Soit [CL) une des bissectrices du triangle avec L appartient à (AB).
Montrer que avec a=BC, b=AC et c=AB.

J'ai réussi à le résoudre avec une assez longue méthode(loi des sinus+utilisation des surfaces). Seulement, et c'est ce qui m'a poussé à créer le sujet, la solution proposée dans le corrigé tient en une seule ligne :

On sait que , or LB=c-LA, on conclut.

Je ne sais pas d'où vient la formule . Ca doit être un théorème puisqu'il n'y a pas le moindre indice sur comment c'est obtenu.

Quelqu'un pourrait-il éclairer ma lanterne?

[Doraki]

projète orthogonalement A et B sur la bissectrice en A' et B'.
En regardant leurs angles tu peux montrer que les triangles AA'C et BB'C sont semblables, ainsi que les triangles AA'L et BB'L.
On en déduis que LA/LB = AA'/BB' = CA/CB