ENIGME

[beagle]

"Et pour reprendre l'exemple des billets, si j'ai 3 billets de 100, 5 billets de 10 et 7 pièces de 1, donc 357 Euros, le "nombre des dizaines", c'est à dire 35, il représente quoi concrètement ? "

ben tes 3 billets de 100 c'est 3 valises, tes 5 billets 10 c'est 5 boites de 10 et 7 pièces c'est 7 billes,
alors tu as 3 fois 10 boites plus 5 boites, 35 boites de dis = 35 dizaines

soustraction en colonnes , il y a plusieurs méthodes pour les "retenues" qui n'en sont pas.
208
-
116
.............

à 8 j'enlève 6 cela fait deux
à 0 dizaines j'enlève 1 dizaine, pas possible,
heureusement 0 n'est pas mon nombre de dizaine, j'ai des paquets de dizaines dans les centaines, avec les valises, ben j'ouvre une valise, j'enlève une valise, je barre le 2 dessus je mets 1, et à mes 10 boites de 10 billes alors je peux enlever une boite de 10 billes, reste 9 boites de 10 ...
à 1 centaine = 1 valise j'enlève 1 valise centaine ...

Bon à moment le gosse pose ses valises, il n'en aplus besoin!

[zygomatique]

salut

je suis globalement d'accord avec ben314 mais je mettrai tout de même une nuance :

distinguer chiffre des dizaines et nombre de dizaines permet justement de faire la distinction entre ... un nombre et un chiffre !!

bien sur il ne faut pas y passer 107 ans mais quand on voit le nombre de lycéens (et surement d'étudiants) confondre les deux ... et n'est pas sans conséquence dans les poursuites d'études ...


d'autre part on utilise sans le dire cette distinction quand par exemple on demande une valeur approchée au centième ben ce qu'on conserve de la partie décimale c'est bien le nombre de centièmes (éventuellement augmenté de 1 en accord avec les règles d'arrondis)

donc on utilise bien ce "nombre de ..." sans le dire ...


enfin on se sert aussi de ce "nombre de ... " pour donner un ordre de grandeur d'une valeur numérique

par exemple pour un produit qui coûte 2399 € on dit souvent 2400€ donc en gros on a regardé et arrondi au nombre de centaines

[beagle]

Mais je rejoins Ben314 également.
Il m'a semblé que de vouloir mettre du sens aux maths en mettant des noms sur tout,
cela rajoutait un apprentissage supplémentaire,
vu qu'avec ma fille fallait y revenir plein de fois, la semaine suivante c'est quoi déjà le nombre de dizaines, elle savait qu'il y avait la différence entre les deux notions mais ne savait plus lequel s'appelait comment.

Donc je rejoins Ben314 lorsqu'il dit initialement que cela rajoute une truc à apprendre,

alors qu'en jouant avec les nombres plus rapidement, on peut donner une compréhension du nombre de dizaine en faisant les opérations addition soustraction etc...Alors oui l'élève ne saura peut-être pas le nom des choses qu'il sait pourtant manipuler correctement,
à la différence d'un enseignement où l'on saura de quoi on parle pour ceux qui auront appris, et au détriment du temps passé à savoir jouer, savoir manipuler ce qui est derrière.

[zygomatique]

oui je te rejoins ... comme Mr Jourdain il est plus important de savoir faire de la prose que de savoir qu'on fait (peut-être) de la prose ...

[Ben314]

Et concernant un éventuel lien à donner aux élèves entre un arrondis et le "nombre de dizaines" ou "nombre de centièmes", je pense que ça ne pourrait qu'amplifier le phénomène déjà archi fréquent consistant à donner comme arrondi la valeur "tronquée" donnée par la machine (i.e. arrondir systématiquement en dessous et pas au plus près).

Sinon, le fait de "donner des noms à absolument tout", ça me fait penser à cette mode consistant à vouloir absolument donner des noms aux différents théorèmes et ou concepts qu'on utilise.
L'un des trucs qui m'a le plus fait marrer dans le style, c'est le jour où, aux environ de 35 ou 40 balais, j'ai appris que les "patatoïdes" que je traçais depuis le primaire (et que je continuais à tracer avec mes étudiant par exemple dans un cours de proba.), ça s'appelait des "diagrammes de Venn"...
Et quand je vois le nombre d'étudiant que j'ai eu ensuite en proba. qui connaissaient le terme de "diagrammes de Venn" mais qui était incapable de mémoriser par exemple que p(AuB)=p(A)+p(B)-p(AnB), j'aurais tendance à emmètre de léger doutes concernant le fait que de donner un nom à ce type de truc soit d'une quelconque aide pour la compréhension du concept sous-jacent...

[nodgim]

Le nombre de centaines de 2016 , c'est 20,16. C'est quand même le tout premier sens qu'on apprend au mot "nombre" , c'est à dire donner un sens à une quantité, un peu plus précise que " beaucoup" ou "énormément".
C'est le début de la numération , et pour pas mal de gens, c'est le seul sens connu.

Pour les matheux, ça se complique avec les nombres complexes, par exemple.

Il n'y a pas si longtemps, une énigme qu'on m'a présentée demandait les 4 solutions entières de l'équation :
x²-x = 0. Saurez vous les trouver ? C'est une question mathématique tout ce qu'il y a de plus sérieux.

[beagle]

"Le nombre de centaines de 2016 , c'est 20,16. C'est quand même le tout premier sens qu'on apprend au mot "nombre" , c'est à dire donner un sens à une quantité, un peu plus précise que " beaucoup" ou "énormément".
C'est le début de la numération , et pour pas mal de gens, c'est le seul sens connu."

euh non le début de la numération il y a 20 centaines parce que le début de la numération c'est le CP (maternelle début de cardinalité mais pas la base 10), ou CE1 pour les unités dizaines centaines, les décimaux doivent ètre au CM2 = fin de primaire.
Mais ton 20,16 est amusant et montre que les savoirs s'enrichissent avec les années, et ce qui était vrai auparavant peut devenir faux...

[beagle]

J'attends la surprise pour l'équation, 1, +0,0,-0???

[nodgim]

Non, Beagle, je parle de 4 nombres entiers distincts. Les 2 solutions évidentes sont 1 et 0. Il existe 2 autres nombres, qui ne sont ni 0, ni 1.

[Ben314]

A la limite et me forçant un peu, vu le contexte (système décimal), j'arrive à trouver "trois" (avec des guillemets...) racine à l'équation x²-x=0 :
x1=0
x2=1
x3=0.99999999999.....
(qui sont effectivement toute les 3 entières).
Pour la 4em, j'ai un peu plus de mal à "l'écrire" directement, mais sur le principe, ç'est
x4=-1+0.9999999999....

[nodgim]

Non, Ben, ton x3 = 1, et ton x4=0.

La réponse est mathématiquement correcte, il n'y a pas de trucage.

[nodgim]

Un indice : les 4 nombres se construisent de manière identique, 0 et 1 étant des particularités. L'utilisation du système décimal est indispensable.

[nodgim]

Bon, je ne vais pas prolonger le suspense. Les 2 nombres entiers supplémentaires à l'équation x² = x sont les nombres infinis à gauche qui ont pour unité 5 et 6.
Je voulais juste donner un exemple de ce que font parfois les mathématiques avec la sémantique. Désigner comme "nombre" une suite infinie de chiffres est tout de même une extension un peu limite de ce qu'on entend couramment pour définir un nombre !

[Ben314]

O.K.
Dans ce cas, j'opterais pour les deux solutions suivantes :
x=....442576576769103890995893380022607743740081787109376
x=...557423423230896109004106619977392256259918212890625

[zygomatique]

et pourquoi ces nombres sont solutions ?

[nodgim]

@ Ben: je ne vérifie ton calcul, la preuve de l'existence de ces nombres est facile à faire.
@ Zygomatique: parce que si tu mets au carré l'un de ces nombres, le résultat est identité ---> x² = x
Ou encore, si tu fais x (x-1) tu obtiendras 0.
Il y a un certain JP Delahaye, que certains connaissent sans doute, pour ses bons livres de vulgarisation, qui a fait un livre complet sur les "nombres infinis à gauche". Je ne l'ai pas lu, mais c'est étonnant qu'on puisse en faire un livre !

[Ben314]

Oui, et ce n'est pas uniquement des "amusette" : la construction est nettement plus classique en base p, mais on peut tout à fait construire le complété de l'espace métrique Z muni de la distance issue de la valuation 10-adique pour donner une parfaite rigueur à cette notion de "nombres" avec une infinité de chiffres à gauche.
Bien sûr, 10 n'étant pas premier, on obtient un anneau non intègre ce qui est beaucoup moins joli que dans le cas d'un nombre premier où on obtient le bien connu Anneau (intègre) des nombres p-adiques.

Mais d'un autre coté, si on prend p premier donc un anneau intègre, l'équation x(x-1)=0 se retrouve de nouveau avec bêtement 2 solutions et pas 4...

[zygomatique]

ok merci ...