énigme à modéliser

[Anonyme]

voici une enigme que l'on m'a posé, j'y ai trouver 2 reponses possibles (cf
la fin du msg). mais je n'ai pas reussit à resoudre ce probleme sous une
forme algébrique.
si quelqu'un est inspiré(e), qu'il fasse part de ses solutions.

merci d'avance et amusez vous bien


completer les blancs :
_____________________________
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 1 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 2 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 3 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 4 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 5 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 6 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 7 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 8 |
| dans ce cadres, il y a ... chiffre(s) 9 |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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Solutions proposées : 10 chiffres 1 et des 1 pour les autres (si ont à le
droit d'utiliser le zero)
11 chiffres 1 et des 1 pour les autres
amicalement, un élève de sup qui s'enuit en vacances.

[Anonyme]

"frederic.choudat" a écrit :
> . mais je n'ai pas reussit à resoudre ce probleme sous une forme
> algébrique.
> si quelqu'un est inspiré(e), qu'il fasse part de ses solutions.
Il y a en fait trois solutions (et seulement 3)
Je ne pense pas qu'il soit aisé de formalisé (ni même opportun).
On peut "faire semblant" :

1) soit n le plus grand nombre de chiffres d'un des 9 nombres cachés
La ligne en question (p) dit donc qu'il y a au moins 10^(n-1) chiffres p.
Il y en a donc au moins 10^(n-1) - 1 parmi les 9 nombres cachés.
Le plus grand nombre caché fait donc au moins (10^(n-1) - 1)/9 chiffres.
Donc (10^(n-1) - 1)/9 sum(xi=k) = 0 pour tout k>1
et donc :
10x1+y1 = 1 + sum(xi=1) + sum(yi=1)
10x2+y2 = 1 + sum(yi=2)
....
10x9+y9 = 1 + sum(yi=9)

Alors, si xk=1, pour un k>1, on a 1 + sum(yi=k) >= 10, et donc
nécessairement sum(yi=k) = 9 et 10xk + yk = 10, donc yk=0 et donc il n'est
ps possible que sum(yi=k) vaille 9 puisque k>1 et yk=0, donc yk différent de
k.
Donc xk=0 pour tout k > 1.
et donc :
10x1+y1 = 1 + (x1=1) + sum(yi=1)
y2 = 1 + sum(yi=2)
....
y9 = 1 + sum(yi=9)

D'où deux cas :
3) cas 1 : x1=1
10+y1 = 2 + sum(yi=1)
y2 = 1 + sum(yi=2)
....
y9 = 1 + sum(yi=9)

Donc 8 1. Les yi, pour i
allant de p+1 à 9 valent tous 1 et sont au nombre de 9 - p. donc y1 >= 1 +
9-p = 10-p. Mais 10-p est nécessairement inférieur ou égal à p puisque tous
les yi au dela de p valent 1 ==> 10-p = 5.

Soit alors n le nombre de yi valant 1.
On a y1=n+1 et n yi valant 1. Les 8-n yi restant valent tous au moins 2. La
somme des yi vaut alors au moins n+1 + n*1 + (8-n)*2, soit 17.
Comme la somme vaut exactement 18, l'un des 8-n yi restant vaut 3 et les 7-n
autres valent 2.

Donc :
y1 vaut n+1
n yi valent 1
7-n yi valent 2
1 yi vaut 3.

Si 1 yi vaut 3, y3 vaut 2.
Si 7-n yi valent 2, y2 vaut 1+7-n = 8-n, qui ne peut être que 2 ou 3

Le cas 8 - n =2 est à éliminer car alors n vaudrait 6, y2 et y3 vaudraient
2, ce qui est contradictoire avec 7 - n yi valant 2!

Donc :
8-n=3
n=5
y1=6
y2=3
y3=2
y6=2 (puisque y1 vaut 6)
le reste vaut 1

[Anonyme]

> Donc :
> 8-n=3
> n=5
> y1=6
> y2=3
> y3=2
> y6=2 (puisque y1 vaut 6)
> le reste vaut 1
>
Soit la solution :
_____________________________
| dans ce cadres, il y a ..6 chiffre(s) 1 |
| dans ce cadres, il y a .. 3. chiffre(s) 2 |
| dans ce cadres, il y a .. 2. chiffre(s) 3 |
| dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 4 |
| dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 5 |
| dans ce cadres, il y a .. 2. chiffre(s) 6 |
| dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 7 |
| dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 8 |
| dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 9 |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[Anonyme]

Bonjour,

Patrick Coilland a écrit:
>
> Soit la solution :
> _____________________________
> | dans ce cadres, il y a ..6 chiffre(s) 1 |
> | dans ce cadres, il y a .. 3. chiffre(s) 2 |
> | dans ce cadres, il y a .. 2. chiffre(s) 3 |
> | dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 4 |
> | dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 5 |
> | dans ce cadres, il y a .. 2. chiffre(s) 6 |
> | dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 7 |
> | dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 8 |
> | dans ce cadres, il y a .. 1. chiffre(s) 9 |
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>

présenté comme ça, cela m'a rappelé

(Subject: qui trouvera l'enigme ??)
sur fr.rec.jeux.enigmes, 10 Apr 2004.
où on met aussi le 0.

et aussi le bien classique des phrases autoréférentes :

"Dans cette phrase il y a a, b ...
et z."
où les ... sont bien entendu écrits en toutes
lettres, qu'on trouve sous diverses variantes.
La dernière fois que j'ai vu une étude la dessus c'était dans
un "Pour la Science" d'il y a qques années. j'ai la flemme
de chercher la référence.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

suite au Xpost, suivi sur fr.sci.maths

philippe 92 a formulé la demande :

> "Dans cette phrase il y a a, b ...
> et z."
> où les ... sont bien entendu écrits en toutes
> lettres, qu'on trouve sous diverses variantes.
> La dernière fois que j'ai vu une étude la dessus c'était dans
> un "Pour la Science" d'il y a qques années. j'ai la flemme
> de chercher la référence.

cela s'appelle un pangramme et plus précisément, un Hétéropangrammes
autoréférents :
[url]http://www.fatrazie.com/pangramme.htm#Hétéropangrammes%20autoréférents[/url]

"Trois a, un b, cinq c, cinq d, douze e, trois f, un g, une h, neuf i,
un j, un k, un l, un m, dix-sept n, quatre o, cinq p, sept q, cinq r,
sept s, neuf t, dix-sept u, un v, un w, quatre x, un y, deux z."

ou en anglais

"Only the fool would take trouble to verify that his sentence was
composed of ten a's, three b's, four c's, four d's, forty-six e's,
sixteen f's, four g's, thirteen h's, fifteen i's, two k's, nine l's,
four m's, twenty-five n's, twenty-four o's, five p's, sixteen r's,
forty-one s's, thirty-seven t's, ten u's, eight v's, eight w's, four
x's, eleven y's, twenty-seven commas, twenty-three apostrophes, seven
hyphens and, last but not least, a single ! "

http://www.fatrazie.com/EWpangram.html
http://www.fatrazie.com/pangramme.htm


et l'excellent lien :
http://www2.iap.fr/users/esposito/oulipo5.html#150798

morceaux choisis :

Hommage à mes collaborateurs implicites & explicites

Ce pangramme autodescriptif en hommage à Douglas Hofstadter, Lee
Sallows, Jacques Pitrat, Nicolas Graner et Éric Angelini contient
exactement dix-sept a, un b, onze c, huit d, trente-cinq e, cinq f,
neuf g, six h, vingt-quatre i, deux j, un k, sept l, six m, vingt-six
n, onze o, huit p, huit q, onze r, quinze s, vingt-sept t, dix-sept u,
quatre v, deux w, neuf x, un y, et cinq z.

Exemple de phrase gödelienne [admettant de très nombreuses variantes]

Cette phrase prétend contenir exactement sept a, un b, sept c, cinq d,
vingt-six e, un f, trois g, quatre h, dix-sept i, un j, un k, trois l,
quatre m, dix-huit n, sept o, huit p, sept q, onze r, douze s,
vingt-cinq t, treize u, trois v, un w, cinq x, un y et quatre z, mais
elle ment.

Bonne approximation d'un pangramme autodescriptif minimal

Voici trois a, un b, quatre c, six d, douze e, un f, un g, trois h,
treize i, un j, un k, un l, un m, douze n, huit o, trois p, cinq q,
sept r, sept s, douze t, dix-huit u, deux v, un w, quatre x, un y, et
cinq z.

Une seule lettre nous sépare du Graal [ici encore, de nombreuses
variantes existent].
Notez l'allusion à la grande hache de Perec

Trois a, un b, cinq c, cinq d, douze e, trois f, un g, une h, neuf i,
un j, un k, un l, un m, dix-sept n, quatre o, cinq p, sept q, cinq r,
sept s, neuf t, dix-sept u, un v, un w, quatre x, un y, deux z.

De parfaits PanGraals existent dans d'autres langues
[attention, l'alphabet espagnol comporte 29 lettres, les "ch", "ll" et
"ñ" étant comptés séparément]

One a, one b, one c, one d, twenty-eight e, seven f, five g, five h,
eight i, one j, one k, one l, one m, eighteen n, eighteen o, one p, one
q, four r, two s, ten t, four u, five v, four w, one x, two y, one z.

Diecinueve a, una b, diez c, una ch, cinco d, dieciséis e, una f, una
g, una h, catorce i, una j, una k, una l, una ll, una m, veintitrés n,
una ñ, seis o, una p, una q, cuatro r, nueve s, seis t, veinte u, cinco
v, una w, una x, una y, dos z.

En supprimant une lettre, on obtient ce LiPanGraal français
[au lieu du w, on peut évidemment supprimer dans cette même phrase les
b, g, j, k, l, m, v ou y]

Trois a, un b, trois c, dix d, dix e, deux f, un g, deux h, dix i, un
j, un k, un l, un m, douze n, quatre o, deux p, cinq q, cinq r, quatre
s, sept t, dix-huit u, un v, neuf x, un y, deux z.

Il existe de nombreuses solutions décrivant encore moins de lettres.
En voici par exemple C(11,7) = 330 utilisant 22 lettres, les sept
étoiles étant à choisir parmi {b,f,g,h,j,k,l,m,v,w,y}

Deux a, cinq c, cinq d, sept e, dix i, douze n, cinq o, trois p, six q,
quatre r, sept s, six t, douze u, cinq x, trois z, un *, un *, un *, un
*, un *, un *, un *.

Exemple avec seulement 16 lettres [il existe une autre solution
excluant le z au lieu du f]

Trois a, deux c, quatre d, huit e, trois h, dix i, trois n, six o,
trois p, quatre q, sept r, huit s, onze t, sept u, cinq x, deux z.

Les cinq phrases suivantes, records actuels du genre, ont été obtenues
à la main par Éric Angelini :

Minimum français [retrouvé indépendamment par Valérie Gorge sur la
liste oulipo]
Cinq c, cinq i, cinq n, cinq q.
Minimum italien
Sette e, tre r, tre s, sette t.
Deuxième plus court en Français, les * étant à choisir parmi les
lettres manquantes [C(21,5) = 20349 solutions]
Six i, six n, six s, six u, six x, un *, un *, un *, un *, un *.
Troisième plus court en Français [C(20,6) = 38760 solutions]
Sept e, sept n, sept p, sept s, sept t, sept u, un *, un *, un *, un *,
un *, un *.
L'Allemand donne le plus grand nombre connu de solutions : C(19,7) =
50388
Acht a, acht c, acht e, acht h, acht i, acht n, acht t, ein *, ein *,
ein *, ein *, ein *, ein *, ein *.
Supprimer la lettre la plus commune du Français oblige à quelques
contorsions, mais on aboutit encore à un LiPanGraal
Un a, un b, trois c, cinq d, un plus un f, trois plus un g, trois h,
vingt-trois plus un i, un j, un k, dix l, un plus un m, vingt-cinq n,
dix plus un o, dix p, trois q, huit plus un r, vingt-trois moins un s,
huit plus six t, trois fois dix u, trois plus un v, un w, six plus un
x, un y, un z.

On peut signaler explicitement la disparition

Trois plus un a, un b, un plus un c, trois d, un signal manquant, un f,
six g, six plus un h, vingt-six plus un i, un j, un k, dix l, trois
plus un m, vingt-huit plus un n, huit o, huit plus un p, trois q, six
r, vingt-trois moins un s, dix-huit moins un t, vingt-huit plus six u,
cinq v, un w, huit x, un y, un z.

Ou le faire de façon plus perecquienne

Trois a, un b, trois plus un c, trois plus un d, un f, cinq g, trois
plus un h, vingt-six i, un j, un k, huit l, trois m, vingt-trois n, dix
o, huit plus un p, trois plus un q, huit plus un r, vingt-trois moins
un s, dix plus six t, vingt-cinq u, cinq v, un w, six x, un y, un z,
mais pas d'

Rien n'interdit de compter aussi la ponctuation

Cette phrase autodescriptive contient exactement dix a, un b, huit c,
dix d, trente-trois e, un f, cinq g, six h, vingt-sept i, un j, un k,
deux l, deux m, vingt-cinq n, dix o, huit p, six q, treize r, quinze s,
trente-deux t, vingt-deux u, six v, un w, quatorze x, un y, quatre z,
six traits d'union, une apostrophe, trente virgules, soixante-huit
espaces, et un point.

Et de tenter encore une phrase presque minimale [de nouveau, les
variantes ne manquent pas]

Huit a, un b, cinq c, six d, dix-huit e, trois f, six g, cinq h,
vingt-six i, un j, un k, trois l, un m, vingt-quatre n, huit o, sept p,
sept q, neuf r, quinze s, vingt-deux t, vingt u, six v, un w, dix x, un
y, deux z, cinq traits d'union, une apostrophe, trente virgules,
soixante-quatre espaces, et un point final.

Compter séparément les lettres accentuées permet la construction de ce
pangramme autodescriptif minimal
[les lettres qui suivent le e-tréma sont "ae" et "oe"]. Il existe au
moins deux autres solutions décrivant les
mêmes caractères, et cela ne présente aucune difficulté d'en ajouter ou
d'en supprimer quelques uns

Deux a, un à, un â, un ä, un b, quatre c, un ç, six d, seize e, un é,
un è, un ê, un ë, un æ, un ½, trois f, un g, deux h, neuf i, un î, un
ï, un j, un k, un l, un m, trente-cinq n, deux o, un ô, un ö, deux p,
cinq q, cinq r, six s, neuf t, trente-sept u, un ù, un û, un ü, un v,
un w, huit x, un y, un ÿ, deux z.

Les "panchiffres" sont beaucoup plus faciles à construire à la main. En
m'inspirant de résultats de Philippe Bruhat, j'ai
par exemple obtenu cette formule valable en toute base n > 2 (le nombre
"11" valant n+1, et le plus grand chiffre étant n-1)

1 «0», 11 «1», 2 «2», 1 «3», 1 «4», ..., 1 «n-1».

--
Vicnent

omnia apud me mathematica fiunt.
René Descartes - 12x133-30x55