Enigme: inégalité

[Lostounet]

Bonjour
Montrer que on a :




zut, une faute dans le titre!! est-elle modifiable?
Lost: oui c'est fait!

[Ben314]

Salut,
J'ai jamais trop compris ce que ça signifiait les .
c'est une autre notation pour ?
Par exemple ?

[aviateur]

Non ce n'est pas ça. J'entends ici :

donc ici les trois sommes qui interviennent dans la question sont :

[Elias]

Salut,
J'ai jamais trop compris ce que ça signifiait les .
c'est une autre notation pour ?
Par exemple ?

En fait, ce que tu décris est plutôt noté .

[Ben314]

J'y arrive, mais c'est pas mal bourrin...


.
.






Soit via la théorie de Galois, soit bêtement via l'étude du tableau de variation de : Pour que s'annule 3 fois sur , doit avoir deux racines et on doit avoir et

[aviateur]

Bonjour
Pas mal! A peu de chose près j'ai la même solution. Tout au moins l'idée de départ est la même, i.e
si je désigne par l'inégalité à démontrer on a donc

Ensuite pour simplifier on remarque que f(x,y,z)=f(-x,-y-z) donc je suppose et puisque f est symétrique je suppose
Pour a et b fixé on a que f(x,y,z) est une fonction croissante de c, donc f est minimale quand c est minimum.
Maintenant si on calcule y et z en fonction de a,b on a :
z=a-x-y
D'où b=x y+ y (a-x-y) + (a-x-y) x, ce qui donne
et donc
On a bien sûr ce qui montre que et x est minimum quand
Maintenant donc
Ce qui montre que c est une fonction croissante de x, donc f est minimum quand x est minimum c'est à dire quand y=z.
Il reste donc à calculer f(x,1,1) (ne pas oublier que f est homogène):
et l'égalité a lieu pour
On peut remarquer que l'expression de f ne joue qu'un rôle fondamental vers la fin. On peut ainsi s'amuser à créer d'autres inégalités du même type.

[mathelot]

[quote="Ben314"] .
[ /quote]

comment obtient-on cette inégalité ? merci

[Ben314]

Vu les tableaux de variations possible, le polynôme admet trois racines réelles (distinctes ou pas) si et seulement si admet deux racines réelles avec .

a pour discriminant réduit donc admet deux racines réelles ssi et dans ce cas ces racines sont .
Ensuite, pour calculer , le plus simple (et de loin) c'est de diviser par et on trouve (en posant la division)



Et le fait que se traduit effectivement par qui est une condition nécessaire et suffisante pour que ait trois racines réelles (avec aussi , bien sûr)

Après, si ça t’intéresse, la quantité qui est un polynôme en c'est (à un coeff. multiplicatif près que j'ai la flemme de chercher) le "discriminant" du polynôme du 3 em degré qui est (par définition) le "résultant" de P et P' (voir Wiki par exemple) et il y a des manières purement algébrique de le calculer en partant des coefficients du polynôme (avec des matrices en fait). Et la "règle générale" (pour un polynôme de degré quelconque à coeff. dans R, c'est que son "discriminant", il est nul ssi le polynôme admet au moins une racine double et, s'il n'est pas nul, son signe donne des infos sur le nombre de racines réelles du polynôme.