Droites et intersections

[yos]

Ton théorème 3 est faux : c'est ce que te dit Nightmare! Tu prends deux droites parallèles. Elles vérifient les hypothèses du théorème mais pas sa conclusion.

[Imod]

Ah oui , je n'avais pas pensé à ce cas dégénéré où on pourrait considérer tout de même que les droites concourent à l'infini . L'hypothèse initiale est quand même très forte : deux d'entre-elles ne sont jamais parallèles . Pourrait-on dire à la place : les droites ne sont pas toutes parallèles , juste pour exclure ce cas extrême ?

Imod

[yos]

Autre approche :
on a n droites (n>1) et k points d'intersection (k>0). En ces points passent respectivement droites. Les étant >2 .
En comptant de deux façons le nombre de paires de droites, on a :

soit
.
Il suffit de montrer que k=1.
edit. c'est sans espoir je pense. Aussi sûr que 12+30=42.

[leon1789]

Ton théorème 3 est faux : c'est ce que te dit Nightmare! Tu prends deux droites parallèles. Elles vérifient les hypothèses du théorème mais pas sa conclusion.

Bien sûr, mais la conclusion naturelle est >, et là, il n'y a pas de problème.

Théorème 4 : Soit un nombre fini de droites du plan telles que si deux de ces droites s'intersectent en un point alors une troisième droite passe par ce point. Sous ces conditions, toutes ces droites sont concourantes ou parallèles.

ce qui correspond parfaitement (par dualité) à

Dans un espace, soit un point T et n autres points distincts P1,...,Pn tels que toute droite (Pi, Pj) contienne T ou un 3eme point Pk.
Montrer que P1,...,Pn sont alignés.

[leon1789]

Ah oui , je n'avais pas pensé à ce cas dégénéré où on pourrait considérer tout de même que les droites concourent à l'infini .

Oui, mais ça, c'est pas grave :we:

[leon1789]

Ah oui , je n'avais pas pensé à ce cas dégénéré où on pourrait considérer tout de même que les droites concourent à l'infini .

Oui, mais ça, c'est pas grave parce que c'est vraiment dégénéré :we:

[lapras]

Pour l'exo initial il existe une démo utilisant le principe de l'extremum et de la géométrie plane.
(cette démo est de mon prof)

[Imod]

J'espère bien , que pour l'exercice que tu proposes , il existe autre chose que la grosse artillerie de la géométrie projective :we: . J'apprécie énormément ces exercices d'olympiades nécessitant apparemment un gros bagage mais qui peuvent être résolus de façon élémentaire grace à un petit appauvrissement des hypothèses et beaucoup d'astuce . Je les trouvent extrêmement formateurs , ils stimulent l'imagination tout en montrant la puissance des "grands" théorèmes .

Le principe de l'extremum ?

Imod

[leon1789]

Je me demande si ce résultat est vrai :

Soit deux points T1,T2 et n autres points distincts P1,...,Pn tels que toute droite (Pi, Pj) contienne T1 ou T2 ou un autre point Pk.
Montrer que P1,...,Pn sont alignés.

EDIT : cela a-t-il un lien avec un résultat de Melchior montré en 1940 (voir wikipédia) ?

[lapras]

Le principe de l'extremum ?

Oui on considère une quantité (géométrique) maximale et on obtient une contradiction. (comme le pb de sylvester)
C'est en tout cas le nom qu'on donne a ce "principe" en olympiades.

[leon1789]

Oui on considère une quantité (géométrique) maximale et on obtient une contradiction. (comme le pb de sylvester)
C'est en tout cas le nom qu'on donne a ce "principe" en olympiades.

On part d'un triplet de droites non concourantes (A,B,Z) d'une certaine "quantité géométrique", puis on considère une droite C concourante à A,B, et on observe un triplet (Z,C,B) ou (Z,C,A) dont la "quantité géométrique" est plus grande.
C'est un truc dans ce genre ?

si oui, ben j'ai pas trouvé cette quantité

[Imod]

Dans le problème de sylvester on prend une distance point<->droite minimale parmi les distances non nulles , pour aboutir à une contradiction . Je pense qu'ici il faut considérer deux points d'intersections le plus loin ( ou proche ) possible ( je verrai plutôt le premier choix ) pour obtenir la contradiction ( peut-être en regardant les angles :doh: ) .

Imod

[lapras]

En fait on peut regarder les triplets de points d'intersections et les aires des triangles formés....

[leon1789]

Oui on considère une quantité (géométrique) maximale et on obtient une contradiction. (comme le pb de sylvester)

Dans le problème de sylvester on prend une distance pointdroite minimale parmi les distances non nulles , pour aboutir à une contradiction .

Il y a deux choses qui me frappent :

-1- c'est le nombre d'occurrence du mot "contradiction"... Les maths sont-elles contradictoires à ce point ? :ptdr:

-2- c'est un aspect de dualité qui est clairement utilisé "intuitivement" (la dualité fait partie de la géométrie projective). Je dis que c'est simplement "intuitif" car les quantités numériques utilisées dans les démos (distance point/droite pour Sylvester, et l'autre que j'attends avec impatience :id: ) ne sont absolument pas compatibles avec la géométrie projective... Ca promet d'être amusant cette histoire !

[leon1789]

Dans le problème de sylvester on prend une distance pointdroite (...)

Heu c'est étrange, mais on peut faire exactement pareil dans le problème de Lapras ! :hein:

Le principe de base : soit trois droites non concourantes (A,B,Z). On retient la quantité (distance point / droite)
Il existe une droite C concourantes à A et B , au point P.
Quitte à renommer les droites A,B,C (le point P ne sera pas modifié), on peut supposer que appartient au segment .
Parmi les distances et , il y en a au moins une inférieure strictement à .
Quitte à renommer A et B, on peut supposer .
Les droites C,Z,A ne sont pas concourantes, on peut donc recommencer le processus....

non ?

[leon1789]

Dans le problème de sylvester on prend une distance pointdroite (...)

Heu c'est étrange, mais on peut faire exactement pareil dans le problème de Lapras ! :hein:

Le principe de base : soit trois droites non concourantes (A,B,Z). On retient la quantité (distance point / droite)
Il existe une droite C concourantes à A et B , au point P.
Quitte à renommer les droites A,B,C (le point P est inchangé), on peut supposer que appartient au segment .
Parmi les distances et , il y en a au moins une inférieure strictement à (<-- même argument que dans le theo de Sylvester !!)
Quitte à renommer A et B, on peut supposer .
Les droites C,Z,A ne sont pas concourantes, on peut donc recommencer le processus....

non ?

[leon1789]

Heu, en dessinant trois points alignés , un point w extérieur à la droite (xy), la droite (wz), et les deux hauteurs issues de z dans les triangles (w,x,z) et (wyz) , on voit que le problème de Lapras et le théorème de Sylvester parlent exactement de la même situtation ! :doh:

non ?

Le théorème de Sylvester serait donc auto-dual ? :hein: (comme le théorème de Pappus que l'on peut énoncer avec trois triplets de points, ou trois triplets de droites...)

[Imod]

C'est curieux , en effet , et la démonstration utilise bien l'hypothèse que c n'est pas parallèle à z . Est-ce la démonstration de Lapras ?

Imod

[lapras]

La démo de mon prof utilise un résultat intermédiaire (je ne le montre pas car il fait parti d'un probleme d'ITYM, je vous demande de faire de même...), c'est que si ABC est un triangle, PQR un triangle inscrit dans ABC, c a d tels que P, Q et R soient sur [AB], [BC] et [CA], alors Aire PQR >= min( Aire PBQ, Aire BPC, Aire QPA).

Donc en considérant le triangle d'aire minimale formé par 3 pts intersections de nos droites, on obtient, en utilisant les hypothses, une contradiction.

[leon1789]

J'ai l'impression que l'on peut prouver que le théorème de Sylvester (nbre fini de points alignés) et de sa version duale (nbre fini de droites concourantes) sont des résultats équivalents de manière naïve, sans dualité, via le principe :
-- "des points A,B,C alignés et P pas aligné" provoquent "des droites (AP),(BP),(CP) concourantes et (AC) pas concourante" ;
-- "des droites (D),(E),(F) concourantes et (G) pas concourantes" provoquent "des points alignés et pas aligné".


Par ailleurs, sur internet, on parle pas mal du théorème de Sylvester (nbre fini de points alignés) et de sa version duale (nbre fini de droites concourantes). Mais je n'ai pas trouvé (je suis allé vite, certes) de document où on disait que le coeur de la démo est un résultat auto-dual : je vais le rédiger proprement, ce n'est pas long du tout (...et au passage, comme il se doit, je ferai encore un petit spitch sur les demos directes et les résultats qu'on en retient...)