Droites et intersections

[lapras]

Bonjour,
Dans le plan soient des droites telles que deux quelconques ne sont pas parallèles et telles que si deux droites s'intersectent en un point alors une 3eme droite passe par ce point.
Montrer que toutes le droites sont concourrantes en un même point.
Lapras.

[Imod]

Ton problème fait penser à celui de Sylvester mais avec des droites .

Imod

[lapras]

Exactement ! une solution très jolie existe !

[Imod]

Tu ne précises pas si les droites sont en nombre fini , ça marche aussi avec une infinité de droites ?

Imod

[lapras]

Heu oui nombre fini.
Je suis pas sur et certain qu'avec une infinité ca marche !

[Imod]

Je crois que j'ai la contradiction avec un nombre fini de droites , si les droites se coupent en plus d'un point . L'enveloppe convexe de l'ensemble de ces points formerait un triangle , il suffit ensuite de considérer des troisièmes droites passant par ses sommets pour arriver à une contradiction . Il y a plusieurs cas à étudier mais ça marche très bien . On doit pouvoir faire plus court et plus propre .

Imod

[Imod]

Ce qui est curieux c'est que je ne vois pas l'utilité de l'hypothèse "deux des droites ne sont jamais parallèles" . Comment construire un contre-exemple en supprimant cette donnée ? J'ai du raté quelque chose :triste:

Imod

[Nightmare]

Imod > Ben si deux droites de l'ensemble sont parallèles entre elles il est clair qu'elles ne peuvent être concourantes du coup l'énoncé tombe en défaut non?

[Imod]

Pas si simple . Ce que je voulais dire , pourquoi ajouter cette hypothèse si les conditions ne peuvent pas être remplies dès qu'il y a deux droites parallèles . Alors pourquoi ajouter cette hypothèse sauf si une évidence m'échappe ?

Imod

[yos]

Les droites x=k, y=k,x+y=k, k entier. Il y en a une infinité et il y a beaucoup de parallélismes, mais comme vous en êtes à regarder l'utilité des hypothèses...
La remarque de Nightmare montre aussi l'utilité de l'hypothèse "non parallèles".

[Imod]

Non la remarque de Nightmare n'apporte rien et quitte à prendre un nombre infini de droites ( parallèles autorisées ) autant prendre l'ensemble des droites du plan qui fourni un contre-exemple évident .

Je précise car il me semble qu'on ne parle pas de la même chose :

Théorème 1 : Soient des droites du plan telles que deux quelconques ne sont pas parallèles et telles que si deux droites s'intersectent en un point alors une troisième droite passe par ce point . Sous ces conditions , toutes ces droites sont concourantes .

C'est le problème initial de Lapras : pas de solution ni de de contre-exemple pour le moment .

Théorème 2 : Soit un nombre fini de droites du plan telles que deux quelconques ne sont pas parallèles et telles que si deux droites s'intersectent en un point alors une troisième droite passe par ce point . Sous ces conditions , toutes ces droites sont concourantes .

C'est le problème de Lapras "corrigé" . Il me semble ( il faut que je vérifie et simplifie ma démonstration ) que l'on peut démontrer ce résultat sans utiliser l'hypothèse "deux droites quelconques ne sont pas parallèles" c'est à dire que l'on aurait :

Théorème 3 : Soit un nombre fini de droites du plan telles que si deux de ces droites s'intersectent en un point alors une troisième droite passe par ce point . Sous ces conditions , toutes ces droites sont concourantes .

Je me demandais si ce théorème est juste et si non de me trouver un contre-exemple . Autrement dit , ne pas supposer au départ qu'il n'y a pas de parallèles infirme-t-il le résultat ?

Imod

[lapras]

Salut Imod le pb 2 correspond a mon pb initial, j'avais juste oublié le "fini".
Par contre je précise bien des droites non parallelles.

[leon1789]

Bonjour,
Dans le plan soient des droites telles que deux quelconques ne sont pas parallèles et telles que si deux droites s'intersectent en un point alors une 3eme droite passe par ce point.
Montrer que toutes le droites sont concourrantes en un même point.
Lapras.

Personnellement, je vois ce résultat comme un résultat de géométrie projective, où des droites parallèles sont concourantes à l'infini. En fait, parallèles ou sécantes, c'est pareil ici :id:
La proposition devient

Dans le plan projectif, soit n droites disctintes telles que, pour tout couple de droites (elles s'intersectent en un point P, à l'infini ou dans le fini), il existe une 3eme droite concourante (passant par P).
Montrer que ces n droites sont concourantes (à l'infini ou dans le fini).

De manière duale (plus simple à dessiner je trouve), on voit que l'hypothèse sur la dimension sur R n'est plus utile. L'énoncé devient

Dans un espace projectif, soit n points disctints tels que, pour tout couple de points, il existe un 3eme point aligné.
Montrer que ces n points sont alignés.

[Imod]

C'est donc le théorème dual de Sylvester !

Imod

[leon1789]

Théorème 3 : Soient un nombre fini de droites du plan telles que si deux de ces droites s'intersectent en un point alors une troisième droite passe par ce point . Sous ces conditions, toutes ces droites sont concourantes .

Dans ce cas, je crois que l'hypothèse n'est plus suffisante : je pense qu'il faut ajouter >



Au fait, >, c'est le nombre qui "soient" ou les droites ? :id:

[Imod]

Salut Imod le pb 2 correspond a mon pb initial, j'avais juste oublié le "fini".
Par contre je précise bien des droites non parallelles.

Pas d'inquiétude , Lapras , c'est bien ce que j'avais compris :we: C'est juste que voulais faire du rab pour faire mon malin :--:

Imod

[leon1789]

C'est donc le théorème dual de Sylvester !

Imod

oui, tu as raison je pense.

[leon1789]

C'est donc le théorème dual de Sylvester !

Imod

Je pense que oui.

[Imod]

Dans ce cas, je crois que l'hypothèse n'est plus suffisante : je pense qu'il faut ajouter >

Avec un nombre fini de droites on devrait bien pouvoir exhiber un contre-exemple :hum:

Au fait, >:id:

Qui a osé écrire ça :bad: ( les méfaits du copier-coller )

Imod

[leon1789]

Avec un nombre fini de droites on devrait bien pouvoir exhiber un contre-exemple :hum:

Heu, j'ai le droit de dire une grosse connerie ? :zen: on peut prendre 3 droites concourantes et la droite à l'infini (considèrée comme parallèle à toute droite... :help: )

Théorème 3 : Soit un nombre fini de droites du plan telles que telles que si deux de ces droites s'intersectent en un point alors une troisième droite passe par ce point . Sous ces conditions, toutes ces droites sont concourantes .

Cela dit, je crois maintenant que tu as raison.
Personnellement, je réfléchis en termes de points alignés (ça me parle davantage). Cela donnerait un truc comme du genre :

Soit un point T fixé et n autres points distincts P1,...,Pn tels que pour deux points quelconques Pi, Pj, on a Pi Pj alignés avec T ou avec un 3eme point Pk.
Montrer que ces n points sont alignés.