Droites et intersections

par **Imod** » 08 Mai 2009, 23:22

Un petit up , existe-t-il une démonstration simple du problème ( à vous faire rager de ne pas y avoir penser ) comme pour celui de Sylvester .

Imod

PS : bien sûr je ne demande pas à Lapras de divulguer ses secrets :zen:

par **lapras** » 09 Mai 2009, 06:24

Imod > je pense que la démo que j'ai postée (#35) est une démonstration "type sylvester".
y'a juste le lemme intermédiaire mais il est assez intuitif et pas si difficile à démontrer !

par **Nightmare** » 09 Mai 2009, 13:38

Salut :happy3:

Voici une démo plutôt simple de Sylvester :

Supposons (désolé Léon!) qu'il existe des points non alignés et on considère tous les triangles non aplatis. L'ensemble des longueurs des hauteurs de ces triangles est fini (puisqu'on a un nombre fini de triangle) et minoré donc admet un plus petit élément.

J'appelle ABC le triangle non aplatis contenant la plus petite hauteur. On peut supposer sans problème quitte à permuter les lettres que cette hauteur est [AH] avec H un point de (BC).

Déjà, H est sur [BC] (sinon la hauteur issu de B serait plus petite).

L'hypothèse nous assure l'existence d'un point K dans notre ensemble qui soit aligné avec B et H (et C). Or, si K est dans [BH], la hauteur issu de K dans [ABK] est plus petite, et si K n'est pas dans [BH] (disons par exemple à gauche de B) la hauteur issu de B dans [ABK] est plus petite. (Rôle symétrique pour C) Dans tous les cas on a obtiens une contradiction

par **leon1789** » 10 Mai 2009, 17:25

Imod a écrit:Un petit up , existe-t-il une démonstration simple du problème ( à vous faire rager de ne pas y avoir penser ) comme pour celui de Sylvester .

Ben, pour une démonstration simple du problème, tu prends la même demo pour Sylvester ! (....je supprime mon texte car je veux aller trop vite dans les explications et du coup cela n'est pas limpide....)

Le problème de Sylvester ou sa version duale (donnée par Lapras), c'est réellement la même chose (sans parler de dualité !) si on le met dans le "bon sens"... C'est cela qui me reste à montrer (ce n'est qu'une question de temps de rédaction). Je vais rédiger un petit truc comme promis, mais là, j'étais en w-e. :we:

par **leon1789** » 10 Mai 2009, 17:40

Nightmare a écrit:Voici une démo plutôt simple de Sylvester :

Oui, ce que tu écris là, c'est bien la clé de la situation (dans Sylvester et dans sa version duale), cf message 32 http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=561938&postcount=32

Nightmare a écrit:Supposons (désolé Léon!) qu'il existe des points non alignés et on considère tous les triangles non aplatis. (...)

La question que je me pose est de savoir dans quel sens tournent les choses : si l'énoncé est mis à l'envers, ce n'est pas étonnant de faire raisonnement par l'absurde pour le démontrer.

Mais ici, ce n'est pas simple du tout... surtout que le théorème projectif de Sylvester et sa version duale ont la réputation de ne pas (encore) être prouvés uniquement avec de la géométrie projective. Ici par exemple, la métrique de R² est utilisée pour faire les preuves, et ça, c'est pas une notion projective. Donc la situation est à la fois simple, compliquée, très étrange....

Ce que je crois, c'est qu'en mettant les bonnes assertions en hypothèse et la bonne assertion en conclusion, on démontre les deux versions Sylvester et duale d'un seul coup !

A suivre.

par **leon1789** » 13 Mai 2009, 17:49

Bon, j'ai essayé de mettre les deux démos #32 et #39 ensembles pour n'en faire qu'une seule prouvant les deux versions d'un seul coup (Sylvester et version duale). Je me disais que cela aller être du gâteau puisqu'elles sont (presque) identiques. En fait, :triste: le "presque" m'est fatal, dommage pour moi... :cry:

par **leon1789** » 17 Mai 2009, 11:14

Je reviens encore une fois sur le sujet (qui est quand même très intéressant :id: )

N'avez-vous pas l'impression que le théorème de Sylvester (points alignés) et sa version duale (droites concourantes) sont en fait des résultats non pas de géométrie euclidienne (voir les preuves données dans cette discussion), ni de géométrie affine/projective, mais un résultat de combinatoire "plus universel", qui serait celui-ci (dont quelqu'un aurait-il une idée de preuve ? :we:) :

Sur un ensemble E fini, on considère une relation R ternaire
>.

Si R(x,y,z),
alors R(x,y,z).

(*) c'est-à-dire

on a

.

(**) c'est-à-dire

, on a

.

(***) c'est-à-dire

, on a

.

par **Doraki** » 17 Mai 2009, 12:50

Techniquement, j'ai un contre exemple :
E= {0;1}
avec R = {(0,0,0);(1,1,1);(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}

par **leon1789** » 17 Mai 2009, 13:40

oui, j'ai oublié de préciser que z doit être différent de x et y, sinon on peut travailler uniquement des paires, et là, le résultat est faux. ok.
J'ai corrigé maintenant, merci. :zen:

par **leon1789** » 17 Mai 2009, 13:55

oui, j'ai oublié de préciser que x,y,z doivent être différents, sinon on peut travailler uniquement des paires, et là, le résultat est faux. ok.
J'ai corrigé maintenant (merci :zen:), mais l'énoncé se complique et ça me plaît moins... :triste:

EDIT ...et en plus c'est faux pour un certain ensemble à 7 éléments (plan projectif sur

)...

par **Doraki** » 17 Mai 2009, 16:22

Ben là c'est trivial :
Soit x,y,z dans E.
Par réflexivité, R(x,x,y) et R(x,x,z).
Par transitivité, R(x,y,z).

En affaiblissant la transitivité, ça devient faux.
Le théorème de Sylvester est trivialement faux en caractéristique non nulle, comme tu dis.

par **leon1789** » 17 Mai 2009, 16:52

Doraki a écrit:Ben là c'est trivial :
Soit x,y,z dans E.
Par réflexivité, R(x,x,y) et R(x,x,z).
Par transitivité, R(x,y,z).

argh, là aussi j'ai oublié que je prends x,y,z_1,z_2 différents...
De toute manière, mon histoire ne mène à rien. Bon, où est mon lit ? :marteau:

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