Diviseurs positifs

[alice02]

Un nombre du bonheur est un nombre entier strictement positif.
Son cube possède fois plus de diviseurs positifs que lui. Combien de diviseurs positifs un nombre du bonheur possede-t-il?

[Ben314]

Salut,
Si la décomposition en facteurs premier (distincts) de est (avec ) alors il est clair que les diviseurs positifs de N sont très précisément les nombres de la forme avec et il y en a donc (= nombre de possibilités pour les ).

Vu que l'énoncé est donc équivalent à l'équation :

Comme on a ce qui montre que .
Comme 13 est premier on a (par exemple) avec donc et avec .
On a donc qui peut s'écrire sous la forme

Or, sauf pour (1,1) et sauf pour (1,1) ; (1,2) et (1,3).
L'étude des seuls cas restant conduit à une unique solution : :
N admet (1+1)(3+1)(4+1) = 40 diviseurs.
N^3 admet (3x1+1)(3x3+1)(3x4+1) = 40 x 13 diviseurs.
(et le plus petit nombre du bonheur est )

[alice02]

Merci et joyeux Noël!