Diviseurs positifs

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alice02
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Diviseurs positifs

par alice02 » 23 Déc 2017, 18:29

Un nombre du bonheur est un nombre entier strictement positif.
Son cube possède fois plus de diviseurs positifs que lui. Combien de diviseurs positifs un nombre du bonheur possede-t-il?



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Ben314
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Re: Diviseurs positifs

par Ben314 » 23 Déc 2017, 21:40

Salut,
Si la décomposition en facteurs premier (distincts) de est (avec ) alors il est clair que les diviseurs positifs de N sont très précisément les nombres de la forme avec et il y en a donc (= nombre de possibilités pour les ).

Vu que l'énoncé est donc équivalent à l'équation :

Comme on a ce qui montre que .
Comme 13 est premier on a (par exemple) avec donc et avec .
On a donc qui peut s'écrire sous la forme

Or, sauf pour (1,1) et sauf pour (1,1) ; (1,2) et (1,3).
L'étude des seuls cas restant conduit à une unique solution : :
N admet (1+1)(3+1)(4+1) = 40 diviseurs.
N^3 admet (3x1+1)(3x3+1)(3x4+1) = 40 x 13 diviseurs.
(et le plus petit nombre du bonheur est )
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

alice02
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Re: Diviseurs positifs

par alice02 » 24 Déc 2017, 23:30

Merci et joyeux Noël! :)

 

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