Soient p et q deux réels supérieurs à l'unité tels que
démonter que si a et b sont deux réels positifs quelconques , on a
A demontrer ^^
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A demontrer ^^
par samah » 13 Juil 2008, 20:01
salut,
Soient p et q deux réels supérieurs à l'unité tels que
démonter que si a et b sont deux réels positifs quelconques , on a
Soient p et q deux réels supérieurs à l'unité tels que
démonter que si a et b sont deux réels positifs quelconques , on a
par Zweig » 13 Juil 2008, 21:27
Yo,
Lemme : Pour tout réel positif
, 
et pour tout réel positif 
,
vérifiant 
, nous avons l'inégalité suivante :
Démonstration :
Si et sont des rationnels, i.e, 
et 
(
), alors d'après l'inégalité arithmético-géométrique :
+(b+b+\cdots b)}{m+n} \geq (a^m\cdot b^n)^{\frac{1}{m+n}})
ou encore
Si et sont des réels positifs vérifiant , il existe deux séquences de nombres rationnels 
et 
pour lesquels 
et 
, 
. Assurement :
 \geq a^{r_n}b^{1-r_n}.)
Alors, lorsque
nous avons avec égalité lorsque 
et 
CQFD.
Maintenant ton problème se déduit très facilement, il suffit de prendre
et 
:
^{\frac{1}{p}}\cdot(b^q)^{\frac{1}{q}}=ab)
avec égalité lorsque 
et
Lemme : Pour tout réel positif
Démonstration :
Si
Si
Alors, lorsque
CQFD.
Maintenant ton problème se déduit très facilement, il suffit de prendre
par Zweig » 13 Juil 2008, 22:43
Bah oui :++: :ptdr:
Sinon ton exo peut se généraliser en :
Soient
des réels positifs et 
des réels positifs vérifiant 
, alors : 
Sinon ton exo peut se généraliser en :
Soient
par samah » 13 Juil 2008, 23:04
Montrons que =\frac{a^p}{p})
superieure à 0
d'autre part=b^{q-1}-a)
et f' est nulle pour
or, =\frac{a^{\frac{1}{q-1}} }{q}-a a^{\frac{1}{q-1}} +\frac{a^p}{p})
comme
, il resulte
on a :
=a^p(\frac{1}{p}+ \frac{1}{q})-a^p=a^p(\frac{1}{p}+ \frac{1}{q}-1)=0)
on peut dresser le tableau
de variation , d'ou on peut l=clairement voir que f(b) est superiere a 0
PS: je veux dessiner le tableau mais je sais pas comment :briques: :briques:
:help: :help:
d'autre part
et f' est nulle pour
comme
on a :
on peut dresser le tableau
de variation , d'ou on peut l=clairement voir que f(b) est superiere a 0
PS: je veux dessiner le tableau mais je sais pas comment :briques: :briques:
:help: :help:
par baptisted » 13 Juil 2008, 23:59
Coucou ! Pour dresser un tableau avec Latex, tu peux regarder ici 
------------------------------> [url="http://www.ilemaths.net/guide-latex-tutorial-tableaux.php"]http://www.ilemaths.net/guide-latex-tutorial-tableaux.php[/url]
------------------------------> [url="http://www.ilemaths.net/guide-latex-tutorial-tableaux.php"]http://www.ilemaths.net/guide-latex-tutorial-tableaux.php[/url]par samah » 14 Juil 2008, 00:01
baptisted a écrit:Coucou ! Pour dresser un tableau avec Latex, tu peux regarder ici
merci pour le lien :zen:
par miikou » 14 Juil 2008, 12:19
Que vous cherchez compliqué quand meme.
Ln est concave donc
y) \geq uln(x)+ (1-u)ln(y))
en prenant u=1/q ( donc 1-u = 1/p ), x= a^q et y=b^p on a
 \geq \frac{1}{q}ln(a^{q})+ \frac{1}{p}ln(b^{p}))
soit encore
 \geq \ln(a)+ ln(b))
en passant a l'exponentielle
Ln est concave donc
en prenant u=1/q ( donc 1-u = 1/p ), x= a^q et y=b^p on a
soit encore
en passant a l'exponentielle
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