[Défi] Carrés parfaits de la forme 11...1 en base 9

[Zweig]

Salut,

Je viens de résoudre de manière assez élégante un exercice d'Olympiade (j'en suis assez fier :zen:) et je vous le propose de manière guidée.

Déterminer tous les carrés parfaits ne s'écrivant qu'avec des 1 en base 9

I - Bases de numération.

On se fixe un entier et un entier naturel . Montrer qu'il existe un unique entier naturel et une suite d'entiers naturels , tous inférieurs à , avec et vérifiant : On pourra utiliser le principe de la descente infinie de Fermat : il n'existe aucune suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs.

C'est la représentation de en base .

II - Equation de Pell-Fermat.

Se référer au PDF du thread http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=106863, section 3.1.11

III - Résolution du problème.

Soit un entier de chiffres écrit en base 9 qu'avec des 1.

a) Montrer

b) Déterminer une équation de Pell-Fermat vérifiée par de la forme .

c) On pose . Montrer que vérifie une suite récurrente linéaire d'ordre 2.

d) En étudiant modulo 9 et 11, déduire tous les solutions.

[GeorgeB]

Merci pour cet exo Zweig !
Pour la a, pas de problème , par contre je comprends pas la question b , quand tu dit "une équation de Pell Fermat vérifiée par Un " , le x doit être le u_n ou le y ?

Merci !

[benekire2]

Salut Zweig, je regarde ça dans l'après midi :++:

George ->> on a (9^n-1)=8a² i.e avec a=y et 3^n=x : x²-8y²=1

[Zweig]

Oui c'"est ça (désolé j'avais laissé un peu tomber ...)

[Zweig]

Up ! :cry:

[benekire2]

a l'évidence personne veut jouer ...

[Zweig]

Même pas toi ? ^^

[benekire2]

Je l'ai déjà fait ^^

[Zweig]

Bah poste alors ;-)

[benekire2]

Pour la b ça a été fait, la a, c'est facile .
Je posterais les réponses au c et d demain matin !

[benekire2]

Re,

Pour la c, on peut vérifier que a_m vérifie :

[benekire2]

Pour la dernière, on est ramené à résoudre Pour n>1 a_m est divisible par 9 et en étudiant ses restes modulo 9 et 11 on en déduit que a_m est égallement divisible par 11. Donc les seules solutions sont n=0 et n=1

Cela dit, c'est un exo que j'avais déjà croisé quelque part.