Un carré autour d'un cercle dans un triangle

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Nightmare
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Un carré autour d'un cercle dans un triangle

par Nightmare » 16 Avr 2013, 15:23

Hello,

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Le triangle est quelconque. Montrez que moins de la moitié du bord du carré se trouve à l'extérieur du triangle.

:happy3:



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Lostounet
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par Lostounet » 16 Avr 2013, 18:13

Bonjour Night,

Je n'ai pas bien compris la question?
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Doraki
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par Doraki » 16 Avr 2013, 18:26

donc on fixe un carré, on dessine son cercle inscrit, et on essaye de retirer un maximum du périmètre du carré en dessinant 3 tangentes au cercle.

La quantité de bord de carré enlevé par une tangente ne dépend pas des autres tangentes (à moins qu'elles soient trop proches l'une de l'autre, où on enlève plusieurs fois la même portion, ce qui est pas malin quand le but est d'en retirer le plus possible).

Pour avoir un maximum du carré en dehors des tangentes, il faut donc probablement prendre des tangentes qui font des angles de ;)/4 avec les bords du carré. Ca donne un "triangle" infini, et une proportion de (3/4)*(2-sqrt2) = 0.4393... < 1/2 du bord du carré en dehors du triangle, si je me suis pas gourré.

Nightmare
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par Nightmare » 16 Avr 2013, 19:13

Lostounet > Il s'agit de montrer que la longueur de la partie du bord du carré qui se trouve à l'extérieure du triangle est inférieure à la moitié du périmètre total du carré.

Doraki > Intéressant! Reste à prouver qu'effectivement la solution maximale se trouve lorsque l'on prend des tangentes qui forment un angle de pi/4 avec le bord du carré.

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Lostounet
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par Lostounet » 16 Avr 2013, 21:49

Je me demande s'il est possible de passer par une méthode algébrique en exprimant les distances (plus exactement la somme des "longueurs de la partie du bord du carré qui se trouve à l'extérieur du triangle"), le périmètre du carré... en fonction des longueurs des cotés du triangle quelconque...

Puis d'étudier la fonction et montrer qu'elle est majorée par p/2 ?
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Dacu
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par Dacu » 17 Avr 2013, 07:31

Nightmare a écrit:Hello,

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Le triangle est quelconque. Montrez que moins de la moitié du bord du carré se trouve à l'extérieur du triangle.

:happy3:

Bonjour!
Très intéressant!Une petite question:
Un côté du carré peut être parallèle à un côté du triangle? :zen:
Cordialement!
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.

beagle
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par beagle » 17 Avr 2013, 09:38

Dacu a écrit:Bonjour!
Très intéressant!Une petite question:
Un côté du carré peut être parallèle à un côté du triangle? :zen:
Cordialement!


Ben à priori si un coté du carré est parallèle à un coté du triangle, cela va donner l'autre coté du carré inscrit dans ce coté de triangle et c'est pas à priori top pour minimiser de l'extérieur, non?

Sinon joli problème Night.Simplicité de l'énoncé trois figures basiques et on peut déjà jouer.
Pourquoi avoir inventé les consoles de jeu bon sang!

Et superbe angle d'analyse de Doraki, comme souvent en maths faut renverser ce que l'on veut nous montrer ou faire montrer.Il ne s'agit pas avec Doraki d'un carré qui vient englober le cercle inscrit dans le triangle, mais de partir du carré pour chercher les conditions du triangle.J'adore, maintenant fallait trouver la suite,that's nice!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Nightmare
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par Nightmare » 17 Avr 2013, 14:10

Merci Beagle, j'aime beaucoup de genre d'énoncé aussi. Pour information, cet exercice a été proposé (mais refusé) pour un concours de maths de niveau 3ème. Résolvable avec des outils élémentaires donc!

Lostounet > Pourquoi pas, mais tu vas te retrouver avec beaucoup de variable, à moins que tu arrives à les lier, l'étude de ta fonction va pas être aisée.

hammana
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par hammana » 17 Avr 2013, 14:25

beagle a écrit:Ben à priori si un coté du carré est parallèle à un coté du triangle, cela va donner l'autre coté du carré inscrit dans ce coté de triangle et c'est pas à priori top pour minimiser de l'extérieur, non?

Sinon joli problème Night.Simplicité de l'énoncé trois figures basiques et on peut déjà jouer.
Pourquoi avoir inventé les consoles de jeu bon sang!

Et superbe angle d'analyse de Doraki, comme souvent en maths faut renverser ce que l'on veut nous montrer ou faire montrer.Il ne s'agit pas avec Doraki d'un carré qui vient englober le cercle inscrit dans le triangle, mais de partir du carré pour chercher les conditions du triangle.J'adore, maintenant fallait trouver la suite,that's nice!


BRAVO à Doraki

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MN est minium quand il est perpendiculaire à AO. Ca a l'air évident, mais je ne trouve pas de démonstration géométrique. On pourrait dire que MN est une fonction paire continue de l'angle AOT, elle a un extremum pour AOT=0 qui est visiblement un minimum.
C'est bien pour conjecturer du résultat. Plus rigoureusement:
Si le cercle a pour rayon l'unité, MN=tg(u)+tg(v)=(sin(u)cos(v)+sin(v)cos(u))/cos(u)cos(v)
=sin(u+v)/cos(u)cos(v).=1/2(sin(u+v))/(cos(u+v)+cos(u-v))
u+v est constant, MN est minimumn pour cos(u-v) maximum, soit u=v

Doraki
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par Doraki » 17 Avr 2013, 15:52

On regarde un coin en particulier et on dessine un carré encore circonscrit au cercle et dont un coté contient le morceau de coté du triangle qui enlève ce coin.

Les deux carrés ont le même périmètre et on a :

2 * périmètre du carré
= 8 * longueur du coin + périmètre de l'octogone central
>= 8 * longueur du coin + circonférence du cercle (par convexité ... ça reste super intuitif)
= 8 * longueur du coin + (pi/4)*périmètre du carré

Ce qui donne longueur du coin <= (2-pi/4)/8 * périmètre du carré <= (1/6) * périmètre du carré puisque pi > 8/3.

On fait la même chose avec les deux autres, on somme, et c'est fini.

Nightmare
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par Nightmare » 18 Avr 2013, 14:01

Joli Doraki et très simple.

J'avais trouvé un truc tout aussi élémentaire :

Image

- Les segments de même couleur sur la figure sont de même longueur.
- De plus, en notant a, b et c les côtés d'un des 3 triangles petit triangles dans lesquels j'ai inscrit un cercle, alors on montre aisément que si c est le plus grand : (a+b)-c=d où d est le diamètre du cercle inscrit. (fig 2)

Ces deux choses conjointes, on en déduit rapidement que :

Périmètre intérieur - Périmètre extérieur = 2R-(d1+d2+d3) où les di sont les diamètres des petits cercles inscrits.

Pour conclure, on remarque que chaque petit triangle se prolonge en un triangle isocèle carré de cathètes de longueur R et donc d'hypothènuse R.sqrt(2). Leur cercle inscrit ont donc un diamètre inférieur au cercle inscrit dans ce triangle isocèle qui vaut D=R(2-V(2)) < 2/3 R

Donc d1+d2+d3 < 2R et on a ce qu'on veut.

Edit :

fig 2
Image

Imod
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par Imod » 18 Avr 2013, 19:15

Bonsoir à tous :zen:

J'aime bien la solution de Nightmare ( en fait je n'ai pas trop compris celle de doraki :cry: ) . On remarque au passage que , la borne pouvant être approchée autant que l'on veut .

Je ne sais pas si en remplaçant le carré par un polygone régulier admettant le même cercle inscrit , la question mérite encore de l'intérêt ?

Imod

 

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