Calculer

[MMu]

Soient les entiers tels que et soient nombres complexes distincts
Calculer


.

[Ben314]

Salut,
Pour fixé, et on a :

avec et . De plus, pour tout , on a :

Donc ce qui prouve que donc que .
On a donc pour et pour .

Remarque :La preuve est légèrement à adapter lorsque l'un des est nul.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle



et la technique "multiplier par , faire tendre vers l'infini" donne immédiatement le résultat pour . Ça se complique pour ou , mais peut-être le était-il une coquille de Mmu.

[MMu]

Pas de coquille. Le fait d’utiliser des techniques d'analyse () risque de cacher certaines choses.

[GaBuZoMeu]

Alors, si ce n'est pas une coquille, passons à un cours supérieur d'analyse complexe et traitons le cas où est un entier quelconque. La décomposition en éléments simples nous dit que est le résidu de la forme différentielle méromorphe au pôle . La somme des résidus aux pôles à distance finie est égale à l'opposé du résidu à l'infini, qui est, pour , le polynôme symétrique homogène complet de degré en les (somme de tous les monômes de degré en les soit ).

[MMu]

Il est intéressant de voir que le résultat reste valable dans tout corps commutatif...

[GaBuZoMeu]

À partir du moment où on l'a sur , on l'a sur tout corps commutatif. En fait, en chassant les dénominateurs, on a une identité polynomiale dans .
MMu, ta limite continue de m'étonner. Ou bien on se limite à la technique élémentaire de la décomposition en éléments simples, disons niveau L1, et alors on va jusqu'à . Ou bien on passe à la vitesse supérieure, et alors pourquoi se limiter à ?

[MMu]

J’avais mis pour avoir un résultat sympa obtenu par des techniques élémentaires ...

[GaBuZoMeu]

Mouais ... le résultat est tout aussi sympa pour quelconque : la somme de tous les monômes de degré . Et je trouve bizarre qu'un méthode élémentaire qui donne ce résultat pour ne le donne pas pour quelconque.
Tu ne veux pas nous en dire plus ? Il n'y a plus rien à cacher, le résultat est établi.
PS. Les émoticones sont-ils vraiment indispensables ?