Arcs de cercle

par **MMu** » 15 Déc 2013, 05:15

Soient un cercle de rayon

et un point

à l'intérieur. On trace trace trois droites distinctes passant par

.
Elles partagent la circonférence en

arcs de cercle.
Montrer qu'il y a au moins deux arcs , chacun de maximum

:zen:

par **Imod** » 29 Déc 2013, 00:03

Il me semble avoir trouvé une solution à ce problème faussement simple .

Le cas où le point de concurrence est le centre est évident . Il reste alors à remarquer que ce cas particulier permet de construire tous les autres en conservant la somme des arcs opposés.

Imod

par **MMu** » 30 Déc 2013, 22:59

Salut Imod, je suis visiblement lent à comprendre, peux tu expliquer mieux comment il y a toujours 2 arcs de maximum $\frac 16$ de la circonférence chacun . :mur: :zen:

par **Imod** » 31 Déc 2013, 12:03

Salut MMu

Ne t'affole pas trop si tu n'as pas tout compris , il y a une grosse faille dans la démo :marteau:

Je sais comment corriger la démo . Il me reste à trouver du temps pour illustrer sinon ça risque d'être un peu hermétique .

Imod

par **Imod** » 31 Déc 2013, 12:57

Bon voilà , j'espère que cette fois-ci ça tient la route .

Une application directe des propriétés de l'angle au centre et de l'angle inscrit dans un cercle de rayon 1 nous donne le(s) résultat(s) suivant(s) .

Les angles étant mesurés en radians .

Après il faut considérer la figure "classique" suivante :

Les "concurrences" des différents cercles se justifient assez facilement .

Le cercle central est celui du problème .

On écrit les égalités d'arcs :

Pour la suite afin d'éviter les fractions de

on se ramène à un cercle de périmètre 6 .

Supposons par l'absurde ( Léon n'est pas là :hein3: ) qu'un seul des arcs soit inférieur ou égal à 1 ( il est clair qu'il y en a au moins 1 ) . Disons qu'il s'agît par exemple de

alors

est strictement inférieur à 2 donc

et

:hein:

Joli problème :++:

Imod

par **MMu** » 31 Déc 2013, 15:53

:king2: Super Imod :king2: démo claire à la manière des anciens indiens qui dessinaient la figure et se contentaient de dire : regarde !
Ma preuve est très différente de la tienne et plus compliquée mais j'aimerais faire aussi une figure. Comment la dessines tu ? :zen:
...... après réflection , les dessins posent problème . Voir mon message plus loin :hum:

par **Imod** » 31 Déc 2013, 17:23

Il te faut créer une image avec un logiciel ( genre geogebra ) ou en scannant un dessin puis suivre les indications .

Imod

par **MMu** » 31 Déc 2013, 17:28

Imod, je ne suis pas sur de ta preuve ! Les dessins me semblent trompeurs . Pourquoi tous les cercles ont le méme rayon ? :hum:

par **Imod** » 01 Jan 2014, 13:23

En effet j'ai pris des cercles de même rayon :cry:

Je ne sais pas si on peut adapter la preuve au cas général . Je vais y réfléchir car le problème est amusant :lol3:

Imod

par **MMu** » 01 Jan 2014, 15:39

:bad2: Ce n'est pas un problème si facile :bad2: je l'ai bricolé d'après une short list d'IMO . :zen:

par **Imod** » 07 Jan 2014, 18:57

Comme le forum n'est pas très réactif sur le problème , j'ai relancé le sujet sur les Maths.net .

A bientôt ici ou là-bas .

Imod

PS : je l'aime bien ce casse-tête :marteau:

par **MMu** » 08 Jan 2014, 06:42

Alors là , avec géotype ça devient vraiment imbaisable ... :hum:
Revenons : utilisez CEVA avec sinus .. :zen:

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