Trigonométrie et Pythagore niveau 4eme !

[pasdoue2025]

Bonjour à tous,

J'aurai un énoncé que je n'ai pas réussi à résoudre du niveau 4eme (en restant au niveau trigonométrie et Pythagore, et j'y ai pourtant passé des heures !). Le voici :

« Pour résoudre la question suivante, on utilisera le lemme qui suit :
Lemme : Si ABC est un triangle rectangle en A, et si H est la hauteur relative à A, on a BA^2 = BH x BC

Soient [OA] et [OB] deux rayons perpendiculaires d'un cercle C de centre O et de rayon 1. Soit C' le cercle de diamètre [OA]. Un point M quelconque du petit arc de cercle d'extrémités A et B se projette orthogonalement en P sur (OA). Soit N l’intersection de [MP] avec C'. Montrer grâce au lemme (ci-dessus) que AM = AN x racine de 2.»

Pour plus d'information, voyez l'image d'illustration (si je me suis bien débrouillé, elle y est !)

Merci de votre attention !

[Pisigma]

Bonjour,
On a pas l'image!

[Pisigma]

Si j'ai la même image que toi?, tu peux construire 2 triangles rectangles, sachant que tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit:

1°) AMD : avec A, M donnés dans l'énoncé et D(-1;0)

2°) ANO avec A,N donnés dans l'énoncé et O(0;0)

et ensuite appliquer dans chaque triangle le lemme

[pasdoue2025]

Bonjour Pisigma,

D'abord je m'efforce de mettre l'image.



Si ça ne marche pas, je ne sais pas comment faire !

Pour répondre à ta remarque, est-il possible de résoudre cette question qu'avec les notions de géométrie pures de 4eme, sans passer par un repère ? Et où mets-tu le point D dans ta configuration ?

[Pisigma]

Ok pour la figure
Il n'y a pas besoin de repère.
Le point D est le symétrique du point A par rapport à O. Ou si tu préfères , D est le point d'intersection du prolongement de AO avec le cercle C.
La résolution demande uniquement de connaître
le fait que tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit, ce qui permet de tracer les 2 triangles

[pasdoue2025]

Salut Pisigma,

Merci pour ta rapidité !

Je te propose ma résolution (de niveau 4ème et par informatique !) :

Le point N est sur le cercle C′, qui a pour diamètre [AO], donc le triangle ANO est rectangle en N.
P est le pied de la hauteur issue de N sur [AO]. En appliquant le lemme au triangle ANO :
AN^2 = AP x AO
Comme AO = 1 (rayon du cercle C), on obtient AN^2 = AP

Soit D le symétrique du point A par rapport à O, alors [AD] est un diamètre du cercle C. M ∈ à C, donc le triangle AMO est rectangle en M.
P est le pied de la hauteur relative à M sur [AD] (car (AD) contient (OA)). En appliquant le lemme au triangle AMO :
AM^2 = AP x AD
Or AD = 2 (diamètre du cercle C), on obtient AM^2 = AP x 2

Ainsi, AN^2 = AP
et AM^2 = 2AP
Donc 2AN^2 = AM^2
⇒ AM = √(2AN^2) = AN√2
CQFD !

Merci encore à vous et bonne soirée !

Pasdoue2025

[Pisigma]

Eh bien voilà!

de rien et bonne soirée à toi aussi