Section de sphère

[Anonyme]

Bonjour,

Je voudrais savoir : lorsqu'on sectionne une sphère par un plan horizontal, est-il possible de calculer le volume d'une des deux sections obtenues?
Si oui, comment?

Merci d'avance,
D.

[montsegur]

Bien sûr que c'est possible.

Tu veux quoi :

- Le résultat ( Formule ) ?

- La démonstration ?

[montsegur]

Voici les formules :

Volume de la sphère de rayon R : V = (4/3) (pi) R^3

Vc = volume de la calotte sphérique à la hauteur H
par rapport au plan équatorial.
La calotte est entre le plan à la hauteur H
par rapport à l'équateur et l'extrémité du rayon de la sphère.

Vc = V [ (1/2) - (3/4) (H/R) + (1/4) (H/R)^3) ]

L'autre partie est alors : V - Vc

V - Vc = V [ (1/2) + (3/4) (H/R) - (1/4) (H/R)^3) ]

Vérifivcation pour H = 0 et pour H = R

H = 0 donne Vc = (1/2) V

H = R donne Vc = 0

[Anonyme]

Merci beaucoup Montségur!

[montsegur]

Il est plus judicieux de faire le calcul avec h = R - H

h étant alors la hauteur de la calotte sphérique.

On obtient alors la formule plus simple :

Vc = V [ (3/4) (h/R)^2 - (1/4) (h/R)^3 ]

h = 0 donne Vc = 0

h = R donne Vc = (1/2) V

h = 2 R donne Vc = V