Qui pour m'aider à résoudre cet exercice ?

[Petkouao]

Aidez moi à résoudre cet exercice : ABC est un triangle. Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si Sin^2(A)= Sin^2 (B)+ Sin^2(C)
Merci d'avance.

[titine]

Aidez moi à résoudre cet exercice : ABC est un triangle. Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si Sin^2(A)= Sin^2 (B)+ Sin^2(C)
Merci d'avance.

Dans le sens : si ABC est rectangle en A alors (sin(A))²= (sin(B))²+ (sin(C))² c'est très simple.
Si ABC est rectangle en A : sin A = 1
De plus : sin B = AC/BC et sin C = AB/BC
Donc (sin(B))²+ (sin(C))² = (AC/BC)²+ (AB/BC)² = (AC² + AB²)/BC² = BC²/BC² = 1 (car d'après Pythagore : AC² + AB² = BC²)

[Black Jack]

Salut,

Dans l'autre sens :

si Sin^2(A)= Sin^2 (B)+ Sin^2(C) alors le triangle ABC est rectangle en A.

Loi des sinus dans un triangle : sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

On élève ces relations au carré -->

sin²(A)/a² = sin²(B)/b² = sin²(C)/c² (2)
---
Sin²(A)= Sin²(B)+ Sin²(C)

on divise les 2 membres par a²b²c²

Sin²(A)/(a²b²c²) = Sin²(B)/(a²b²c²) + Sin²(C)/(a²b²c²)

et avec (2) ---> 1/(b²c²) = 1/(a²c²) + 1/(a²b²)

on multiplie les 2 membres par a²b²c² -->

a² = b² + c² ... et donc par le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A

[mathelot]

Bonsoir,
c'est posté niveau collège. Pour la réciproque, il faut démontrer au préalable la loi des sinus qui est, semble-t-il, au programme de la classe de 1ère. Comme la démonstration de cette loi ne présente pas de difficulté, ça peut faire l'objet de questions préliminaires.