Probleme difficile(?)

par **mitmit** » 17 Jan 2010, 16:00

Bonjour,
J'ai eu affaire à un problème difficile que je n'arrive pas à résoudre, étant en classe de 3eme, je vous demande (si vous le pouvez) de me donner quelques indices.

Soit un cercle C de centre O et M un point (!) extérieur (!) à C.
MO recoupe C en A et B et la tangente à C issue de M coupe le cercle en T.

La question concerne la moyenne géometrique, en effet, je dois motrer que MT est la moyenne géometrique des nombres MA et MB!

C'est avec le point M qui se trouve à l'extérieur que je bloque, impossible d'avancer, je connais les theorèmes pour la moyenne geometrique mais cela ne prend pas en compte le point M qui est à l'extérieur!

Pourriez vous me donner quelques indices pour ce probleme?

Cordialement,
timtim

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 16:16

MOT est rectangle d'hypothénuse MT et de côté MO=(MA+MB)/2 et MT=(MB-MA)/2

il faut faire pythagore.

edit: raisonnement faux supprimé. et c'est MO l'hypothénuse.

par **oscar** » 17 Jan 2010, 16:24

La " puissance" de M par rapport à (C)
est en effet MA * MB ou MT²= MO² + OT²

Donc MA/MT = MT /MB ou MT² = MA*MB

par **Sve@r** » 17 Jan 2010, 16:27

Finrod a écrit:Pour montrer que MOT est rectangle, il faut à mon avis utiliser que d'après le cours, AOT est rectangle (en prenant A plus près de M que B).
Comme l'angle TOA est égal à TOM ... c'est bon.

Plus simple: la tangente à un cercle de centre O au point T est toujours perpendiculaire au rayon OT
D'ailleurs, AOT n'est pas rectangle !!!

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 16:33

du coup, j'ai tout faux, j'avais miser sur l'autre... :hein:
Si je suis nommé en collège, l'année prochaine, vaut mieux que je révise :doh: .

par **oscar** » 17 Jan 2010, 16:35

figure

http://yfrog.com/5bmoyennegeometriquej

par **mitmit** » 17 Jan 2010, 16:39

Merci de ta reponse Finrod,
mais je ne comprend toujours pas, comment MT peut etre la moyenne géometrique de MA et MB?

par **mitmit** » 17 Jan 2010, 16:47

Je suis pas convaincu, enfait je trouve que MTO est rectangle en T, comme c'est point de tangence, du coup, Oscar, MT ne peut pas etre l'hypoténuse de MOT, d'ou ta relation ne colle pas, ou je me trompe?

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 16:57

Il faut faire le raisonnement avec MO pour hypothénuse bien entendu.

Oscar a recopié ce que j'ai écrit en premier et j'avais inversé. Et en téléscopant les identités remarquables il a écrit le bon résultat (où l'on voit que dés que l'on est sûr de soit on ne refait pas calculs et patatras).

Finalement on trouve bien MT²=MA*MB

par **Sve@r** » 17 Jan 2010, 16:58

mitmit a écrit:Je suis pas convaincu, enfait je trouve que MTO est rectangle en T, comme c'est point de tangence, du coup, Oscar, MT ne peut pas etre l'hypoténuse de MOT, d'ou ta relation ne colle pas, ou je me trompe?

Non non, tu ne te trompes pas. Oscar a écrit une belle boulette et je ne l'ai pas remarquée non plus. MOT est rectangle en T donc MT²+TO²=MO² !!!

par **mitmit** » 17 Jan 2010, 17:04

D'accord merci beaucoup,
donc d'apres MT²=MA*MB, je peux ecrire que MT=(MA*MB)^(1/2) et que ceci est donc une moyenne geometrique de MA et MB?

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 17:09

Déjà il faut montrer MT²=MA*MB avec pythagore.

Ensuite, il faut prendre la racine.

La moyenne géométrique n'est pas le produit divisé par deux. Avec ce raisonnement, la moyenne de 8 avec lui même donnerai 32 au lieu de 8. C'est la racine du produit qui donne la moyenne géométrique.

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