Moins par moins egal plus !

par **vinch** » 28 Oct 2007, 10:45

je repensais à mes tendres années de collèges et je me félicitais qu'à maintenant bac+2 tout ce que j'apprenais me parait maitenant trivial ... et là le drame survint et m'empechat de dormir ...
ma prof de maths nous annonçait donc ceci :

x-(-y)=x+y

mais comment l'expliquer ? d'où cela vient-il ? ça parait évident à tout le monde ici je suppose, à moi aussi mais est ce démontrable à partir de quelque chose de plus fondamental ?
j'avais pensé à ceci :
-écrire -y revient à faire (-1)*y et -(-y) vaut donc (-1)*(-1)*y
et d'après la propriété (-1)*(-1)=1 on en déduit -(-y)=y
ok donc mon problème s'est déplacé en :
pourquoi (-1)*(-1)=1 simple axiome ou démontrable ?

par **rene38** » 28 Oct 2007, 11:10

BONJOUR ?

x-(-y)=x+y

par définition : soustraire un nombre (ici, -y) c'est ajouter son opposé ( ici, y)

par **vinch** » 28 Oct 2007, 11:22

non c'est pas par définition, comme je viens de le montrer ça vient du fait que (-1)*(-1)=1
par contre cette proposition là est-elle démontrable par un axiome plus fondamental ? telle était ma question.

par **vinch** » 28 Oct 2007, 11:26

oui et prendre l'opposé c'est faire (-1)*y donc la propriété x-(-y)=x+y est démontrable grace à la définition de la soustraction et de l'opposé et de la propriété (-1)*(-1)=1 et ma question était cette derniere proposition est elle démontrable à partir d'axiomes plus fondamentaux ?

par **emdro** » 28 Oct 2007, 11:34

Bonjour,

par définition, -1 est l'opposé de 1.
Il se trouve donc que
(1)+(-1)=0
D'où [(1)+(-1)]*x=0 (0 est absorbant, cela se démontre en partant des axiomes des anneaux)
En particulier, [(1)+(-1)]*(-1)=0
soit (distributivité) (1)*(-1)+(-1)*(-1)=0
1 étant neutre pour *, (1)*(-1)=(-1)

Donc (-1)+(-1)*(-1)=0

par conséquent, (-1)*(-1) est l'opposé de (-1), c'est à dire 1.

Je n'ai utilisé que les axiomes d'anneaux.

par **vinch** » 28 Oct 2007, 11:50

la démo me convient et me convainc ! merci !

par **emdro** » 28 Oct 2007, 11:52

Je te laisse prouver que 0, le neutre de + est absorbant dans un anneau (A,+,*). :happy2:

par **vinch** » 28 Oct 2007, 11:55

je l'admettrai pour le moment, mon perfectionnisme ne concerne que ce que mon espris ne croit pas évident à priori ...

par **emdro** » 28 Oct 2007, 11:58

All right! :zen:

Moins par moins egal plus !

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