Demontrer

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 15:28

Bonjour,

J'ai un problème à résoudre mais je n'y arrive pas : quelqu'un pourrait m'expliquer ?

Enoncé : Démontrer que la somme des carrés de deux nombres impairs consécutifs quelconques est un nombre pair.

J'ai pris un exemple : 3²+5²= 9 + 25 = 34 (chiffre pair car divisible par 2)

Mais sous l'énoncé il est indiqué de se reporter à un atelier dans le livre pour répondre à cette question. Dans cet atelier, il est marqué que des exemples ne suffisent pas et ils démontrent une solution pour un problème qui ressemble au mien mais exprimé avec des n .

J'ai donc essayé mais je pense que j'ai faux : j'ai mis : on note n et n+2 deux nombres impairs consécutifs. La somme de leurs carrés est n²+(n+2)²
En développant et en réduisant on obtient : n²+n²+4n+4 = 2n²+4n+4

Voilà mais je ne vois pas en quoi mon résultat démontre quoique ce soit ? :mur:

Merci d'avance pour votre aide.

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 15:30

Hello,

tu peux remarquer que 2n²+4n+4=2(n²+2n+2), et un nombre qui s'écrit sous la forme 2 * un autre nombre est un nombre ...... ?

par **ampholyte** » 26 Fév 2013, 15:31

Bonjour,

En factorisant par 2 et en remarquant une identité remarquable tu pourras transformer 2n² + 4n + 4 en un nombre impaire (après la factorisation, astuce 2 = 1 +1 !)

edit : Grilled

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 15:39

Nightmare a écrit:Hello,

tu peux remarquer que 2n²+4n+4=2(n²+2n+2), et un nombre qui s'écrit sous la forme 2 * un autre nombre est un nombre ...... ?

Bonjour et merci de m'avoir répondu : je comprends la factorisation mais désolé je ne comprends toujours pas comment ça démontre que le résultat est pair. Dans l'atelier ils disent qu'un nombre impair s'écrit 2k avec k nombre entier : j'avais pas encore vu ça en cours donc???
Merci de m'expliquer à nouveau si vous pouvez.

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 15:44

Eh bien 2(n²+2n+n) est bien sous la forme 2k avec k un nombre entier non? Donc c'est bien un nombre pair.

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 15:44

ampholyte a écrit:Bonjour,

En factorisant par 2 et en remarquant une identité remarquable tu pourras transformer 2n² + 4n + 4 en un nombre impaire (après la factorisation, astuce 2 = 1 +1 !)

edit : Grilled

Bonjour merci de m'avoir répondu : je factorise et ça fait 2(n²+2n+2) mais après je comprends toujours pas à quoi ça aboutit (désolé), comment transformer ça en nombre impair ?

Merci pour votre patience!!!

par **ampholyte** » 26 Fév 2013, 15:51

Alors on est en train de tout mélanger. Tu dois prouver ceci :

Démontrer que la somme des carrés de deux nombres impairs consécutifs quelconques est un nombre pair.

Je te conseille donc de considérer les nombres impaires consécutifs suivant 2n-1 et 2n+1

(2n-1)² + (2n+1)² = 4n² - 4n + 1 + 4n² + 4n + 1 = 8n² + 2 = 2(4n² + 1) => nombre paire !!

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 16:05

ampholyte a écrit:Alors on est en train de tout mélanger. Tu dois prouver ceci :

Je te conseille donc de considérer les nombres impaires consécutifs suivant 2n-1 et 2n+1

(2n-1)² + (2n+1)² = 4n² - 4n + 1 + 4n² + 4n + 1 = 8n² + 2 = 2(4n² + 1) => nombre paire !!

J'en rigole tellement j'ai honte de ne toujours pas comprendre pourquoi 2(4n²+1) => nombre pair. Pourtant j'essaye et je comprends le résonnement mais je n'arrive pas à faire le lien 2(4n²+1) = pair. Peut-on remplacer par un nombre le n pour comprendre mieux? J'ai trop la honte...

par **ampholyte** » 26 Fév 2013, 16:07

Car tout nombre multiple de 2 est un nombre paire !

Tu peux prendre des exemples :

n = 1 => 2(4 + 1) = 10

n = 2 => 2(16 + 1) = 34

n = 3 => 2(36 + 1) = 74

...

par **annick** » 26 Fév 2013, 16:08

Bonjour,
simplement parce que 2(4n²+1) est divisible par 2 (celui qui est en facteur devant), donc il est pair.

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 16:09

Nightmare a écrit:Eh bien 2(n²+2n+n) est bien sous la forme 2k avec k un nombre entier non? Donc c'est bien un nombre pair.

Je crois que je suis un cas désespéré. K cela représente quoi ?2 fois un nombre entier ?

par **ampholyte** » 26 Fév 2013, 16:09

k est un nombre entier quelconque.

2k représente simplement sa multiplication par 2

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 16:26

Merci à tout ceux qui m'ont répondu : j'ai enfin compris !!!

Mais comment le présenter dans mon devoir :
On note n et n+2 deux nombres impairs consécutifs. La somme de leurs carrés est n²+(n+2)² . En développant et en réduisant on obtient 2n²+4n+4 soit 2(n²+2n+2) donc c'est un nombre pair car divisible par 2

Bon ?

par **ampholyte** » 26 Fév 2013, 16:33

Bon déjà lorsque tu parles de nombre impaire il est préférable d'écrire :

2n - 1 et 2n + 1,

(2n - 1)² + (2n + 1)² = ... la suite a été mise plus haut ^^

par **Nightmare** » 26 Fév 2013, 16:34

Ce que tu as fait fonctionne bien, mais cela montre plus généralement que la propriété est vraie en prenant deux nombres consécutifs de même parité.

par **stephane61** » 26 Fév 2013, 17:04

Ok donc je vais écrire : on note 2n-1 et 2n+1 deux nombres impairs consécutifs.
La somme de leurs carrés est (2n-1)²+(2n+1)²= 4n²-4n+1+4n²+4n+1=8n²+2=
2(4n²+1) donc le résultat est pair car il est divisible par 2

Bon cette fois (encore mille mercis à tout le monde)

par **ampholyte** » 26 Fév 2013, 17:05

C'est tout à fait ça :).

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