Démo Thalès

[thomasg]

Bonjour,

quelqu'un pourrait-il m'aider à démontrer le théorème de Thalès,

Merci.

[fonfon]

Salut,tu es sûr qu'on demande ça au collège?

Théorème de thalès ds un plan affine:

Soient D et D' deux droites sécantes en O.Soient A et B (resp. A' et B') deux points de D (Resp. de D') distincts de O.Montrer:

(AA') et (BB') sont parallèles <=> OA/OB=OA'/OB'=AA'/BB'

Soit i(->) vect dir. de D
Soit i'(->) vect dir. de D'

Comme D et D' sont secantes ,D et D' ne sont pas paralleles et (i(->),i'(->)) est une famille libre (ds une base) de P.

On ecrit les mesures algebriques sur D relativement à i(->), sur D' relativement à i'(->)

OA(->)=OA.i(->)
OB(->)=OB.i(->)
OA'(->)=OA'.i'(->)
OB'(->)=OB'.i'(->)

donc
AA'(->)=OA'(->)-OA(->)=-OA.i(->)+OA'.i'(->)
BB'(->)=-OB(->)+OB'(->)=-OB.i(->)+OB'.i'(->)

equivalence:
(AA') et (BB') sont paral.
<=> AA'(->) et BB'(->) sont colinéaires
<=> il existe lambda ds R tq (lambda)AA'(->)=BB'(->)
<=> " " " " " " " (lambda)OA'=OB'


ON a : (lambda)AA'=BB',(lambda)OA=OB,(lambda)OA'=OB'

donc lambda=OA/OB=OA'/OB'=AA'/BB'

PS: qd ce n'est pas un vecteur,c'est la mesure algébrique dc ne pas oublier de mettre une barre sur par ex OA,OB...

[thomasg]

Bonjour,

merci à toi, pour cette réponse à laquelle je n'avais pas pensé,

personnelement la démonstration que je connaissais utilise les lignes trigonométriques (et nécessitait leur définition à partir de la fonction exponentielle pour être vraiment correcte),

mais à un collégien (niveau quatrième), comment le démontrerai tu ?

Merci encore.

[bernie]

Bonjour,

tu as pensé à chercher sur le Web avec un moteur de recherche?

Va voir :

http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/thales_classique.html#ch1

Salut.