Défi avec un nombre entier

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ouistiti62
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Défi avec un nombre entier

par ouistiti62 » 30 Sep 2017, 23:50

Bonjour,
J'ai cet exercice à faire pour mon DM:
-je suis un nombre entier
-je suis un carré
-je suis un cube
-je suis supérieur à 100 mais inférieur à 1000
On dit qu'il n'y en a pas deux comme moi.
Est-ce exact?
Je suis perdu,j'avais pensé au chiffre 1 car le carré de 1=1 et le cube de 1=1 mais je bloque à la 3eme affirmation : supérieur à 100 mais inférieur à 1000???
Merci pour votre aide.



infernaleur
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Re: Défi avec un nombre entier

par infernaleur » 01 Oct 2017, 00:42

Salut, quand on dit que le nombre est un carré sa veut dire que par exemple si X est le nombre qui répond à ses conditions bha on a X=a² où a est un entier et de même si X est un cube sa veut dire qu'il existe un b entier tel que X=b^3 (enfin je pense)
Bon j'ai essayé comme un idiot tout les carré de 10 à 27 et j'ai trouvé que 729 répondait a ses conditions.
On a 729=27² et 729=9^3.
Voila j'espère ne pas m'être trompé.

PS: En fait, j'ai commencer à 10 car le nombre doit être plus grand que 100

infernaleur
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Re: Défi avec un nombre entier

par infernaleur » 01 Oct 2017, 00:51

On pose X le nombre qui répond a ses conditions et les entiers a et b tel que X=a² et X=b^3.

En fait en y réfléchissant un peu pour limiter les choix du nombre tu sais qu'on doit avoir Comme la fonction cube est croissante R (même strictement) on a

Et sa te limite à
Une fois que tu auras tout essayé tu verra que le seul qui peut marcher c'est pour b = 9 , donc le nombre solution est 9^3=729.

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Lostounet
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Re: Défi avec un nombre entier

par Lostounet » 01 Oct 2017, 03:44

Salut,

Voici les cubes des 10 premiers entiers naturels:
1 a pour cube 1
2 a pour cube 8
3 a pour cube 27
4 a pour cube 64
5 a pour cube 125
6 a pour cube 216
7 a pour cube 343
8 a pour cube 512
9 a pour cube 729
10 a pour cube 1000
Seuls ceux entre 100 et 1000 conviennent 125, 216, 343, 512,729,1000

De plus on sait que tout carré parfait a pour chiffre des unités {0;1;4;9;5}
Il reste uniquement 125, 216, 729,1000

Lequel est un carré? Il suffit de regarder si leur racine carrée est un entier..
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Pseuda
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Re: Défi avec un nombre entier

par Pseuda » 01 Oct 2017, 10:53

Bonjour,

Si ce nombre est à la fois un carré et un cube (a^2 et b^3), c'est qu'il est une puissance de 6.

Des puissances de 6 comprises entre 100 et 1000, il n'y en a pas des tonnes : 1^6, 2^6, 3^6, ... .

beagle
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Re: Défi avec un nombre entier

par beagle » 01 Oct 2017, 10:53

le problème faut aller le chercher, le provoquer, aller jusqu'à ses limites.
on me dit je suis un carré et je suis un cube.
le premier truc à évoquer, rah l'autre ç'est pas possible:
5x5 est un carré
5x5x5 est un cube
si j'en ai deux des 5 je ne peux pas en avoir 3
rah l'autre encore une erreur d'énoncé
Arrivé à ce stade, si tu ne trouves pas tu vas diner.
Et tu reviens après le diner.

il me faut du trruc fois deux et du truc fois trois, hum, hum, du 2 et du 3
Du 2 et du 3, il ya bien le 6 qui fait ça.
Donc on essaye:
5x5x5x5x5x5
et là bingo
j'ai un cube : (5x5) x (5x5) x (5x5)
j'ai un carré: (5x5x5) x (5x5x5)

Reste plus qu'a essayer:
avec le un on va pas loin
avec le deux c'est bien trop peu
avec le trois , là j'y crois
avec le quatre, ça va trop loin

hé,hé , grillé par pseuda!

Pseuda
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Re: Défi avec un nombre entier

par Pseuda » 01 Oct 2017, 10:59

Bonjour Beagle,

Suivie de près. C'est ça, il faut être une puissance de 6 pour être à la fois un carré et un cube : à démontrer (mais pas au collège).

beagle
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Re: Défi avec un nombre entier

par beagle » 01 Oct 2017, 11:06

Pseuda a écrit:Bonjour Beagle,

Suivie de près. C'est ça, il faut être une puissance de 6 pour être à la fois un carré et un cube : à démontrer (mais pas au collège).


Bonjour Pseuda
Pour démontrer faut décomposition en facteurs premiers.Je ne sais pas quelle année on bosse ça.

Pseuda
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Re: Défi avec un nombre entier

par Pseuda » 01 Oct 2017, 11:10

En TS spé maths, ils font de l'arithmétique.

ouistiti62
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Re: Défi avec un nombre entier

par ouistiti62 » 01 Oct 2017, 13:00

Merci les amis pour votre aide,je trouve cet exercice costaud au vue de vos réponses, je ne suis qu'en 3eme...

pascal16
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Re: Défi avec un nombre entier

par pascal16 » 01 Oct 2017, 14:38

La solution de Lostounet à 2h44 du matin est tout à fait niveau collège.

beagle
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Re: Défi avec un nombre entier

par beagle » 01 Oct 2017, 16:51

pascal16 a écrit:La solution de Lostounet à 2h44 du matin est tout à fait niveau collège.


Quelle honte, Pascal, quelle honte.
Privilégier une solution de sortie de boites de nuit,
alors que d'honnêtes gens comme Pseuda et Beagle envoient des solutions du dimanche matin avant la messe.Je suis dégouté!

Bon, sinon, on apprend en troisième le PGCD, on apprend les puissances? le carré et le cube seulement?
Et on n'apprend pas la décomposition en facteurs premiers!!!!!
Possible me rappelle plus du tout ce que j'ai fait avec ma fille et quand!

parce que si on apprend les puissances, le nombre de fois de la multiplication s'additionne, se retranche,
bon ben je crois que l'exo aurait sa place comme on l'a fait avec Pseuda.Pour avoir du 2 et du 3 on a cela quand 6, c'est un challenge qui me parait jouable.
Ensuite qu'il n' ai qu'une seule solution, avec rigueur difficile, mais bon si on est parti j'ai besoin de puissance 6, et alors entre 2 et 4 il n' y a que 3, on ne peut pas trouver d'autres entiers.

pascal16
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Re: Défi avec un nombre entier

par pascal16 » 01 Oct 2017, 19:26

2h44, c'est entre la boite et le club privé ?

Pseuda
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Re: Défi avec un nombre entier

par Pseuda » 01 Oct 2017, 20:35

pascal16 a écrit:La solution de Lostounet à 2h44 du matin est tout à fait niveau collège.

Bonsoir,

Encore faut-il savoir qu'un carré se termine par certains chiffres et pas d'autres. Au collège je ne vois qu'une solution : aligner les carrés, aligner les cubes, .... avec peut-être quelques raccourcis.

Mais on peut aussi avoir l'intuition des puissances de 6.

pascal16
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Re: Défi avec un nombre entier

par pascal16 » 01 Oct 2017, 20:37

en fait, on peut supprimer cette allusion à la terminaison des carrés

soit au final : "
Voici les cubes des 10 premiers entiers naturels:
1 a pour cube 1
2 a pour cube 8
3 a pour cube 27
4 a pour cube 64
5 a pour cube 125
6 a pour cube 216
7 a pour cube 343
8 a pour cube 512
9 a pour cube 729
10 a pour cube 1000
Seuls ceux entre 100 et 1000 conviennent 125, 216, 343, 512,729,1000

Lequel est un carré? Il suffit de regarder si leur racine carrée est un entier..
"

Pseuda
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Re: Défi avec un nombre entier

par Pseuda » 01 Oct 2017, 20:42

Le tout avec la calculatrice bien sûr. Mais c'est pas grave, le but est déjà de les faire jouer avec les puissances.

pascal16
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Re: Défi avec un nombre entier

par pascal16 » 01 Oct 2017, 20:56

on va quand même pas sortir un programme scratch avec le chat qui fait miaou quand la solution est trouvée !

 

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