Danger - Exercices d'Approfondissement

[Ben314]

1) Je pense (je ne suis pas sûr) que la machine utilise une formule du type :
(où x est la valeur de l'angle en radian)
Si je devais un jour calculer un cosinus "un peu quelconque" à la main, je pense que j'emploirais aussi cette formule (aprés quelques petites simplification pour avoir un "x" assez petit). Par contre, je pense que je ne garantirais pas grand chose sur le résultat !!!
Par contre, comme (presque) tout le monde, je connais "par coeur" la valeur du cosinus des "angles remarquables" : 30°, 45°, 60° et 90° et je sais en retrouver quelques autres, par exemple 36°...

2) Pour le "pourquoi le cosinus ne peut pas dépasser 1", et bien... tout dépend de la définition que l'on a du cosinus. Pour toi, c'est "coté_adjacent/hypothénuse" dans un triangle rectangle et, la formule de pythagore montre que l'ypothénuse est effectivement plus grande que les deux autres cotés.

3) Les "rapports" entre le sinus, le cosinus et la tangente, on appelle ça les "formules trigonométriques" : tu devra en apprendre par coeur un certain nombre jusqu'au jour où tu verra les complexes et où on te dira que ça sert à rien de les apprendre par coeur... (mais il faut les apprendre par coeur quand même). Dans le lot (des formules), tu as déjà du voir que :
et
Je ne pense pas qu'il soit utile d'en connaitre d'autres avant d'en avoir besoin. (si tu veux, tape "formules trigonométriques" sous google : tu sera pas déçu...)

[Sylviel]

Mouarff, tu en as des questions qui sont intéressantes toi Je vais essayer de te donner quelques éléments :

1- Comment Calculer le cosinus à la main? Comment la calculatrice fait-elle?

Il n'y a pas de méthode générale pour avoir une valeur exacte, il y a tout une série de méthodes qui s'appliquent à des cas particuliers... Pour les valeurs approchées je ne connais pas les méthodes effectivement utilisées mais une idée est que l'on peut approcher une fonction (par exemple cosinus) par des polynomes (, où n est le degré), d'ailleurs cosinus et sinus peuvent être vu comme des "polynomes de degré infini", donc on peut approcher leur valeur en prenant un n très grand et en disant que c'est presque comme l'infini.
Pour la calculatrice elle peut avoir une méthode de ce type là ou des tables enregistrés (de gros ordi ont fait les calculs pour elle) plus quelque routine pour utiliser les symétries simple des fonctions trigonométriques.

2- Pourquoi est-ce que le cosinus ne peut dépasser 1 (je sais que l'hypoténuse est le plus grand coté, quand on divise un nombre par un plus grand.. mais est-ce suffisant comme argument ? ça revient à la 1ère question)

Oui c'est suffisant vu ta définition du cosinus. Connais-tu le cercle trigonométrique ? C'est un outil extrêmement pratique et utile en trigo et utilisable dès la 3eme...

3- Comment Calculer le rapport de la tangente ? Est-ce qu'il y a des choses particulières à connaitre sur la différence /points communs entre sinus cosinus et tangente?

heu c'est un peu flou comme question. Il faut savoir que tan = sin / cos. Après il y a tout une série de symétrie qu'il faut savoir manipuler, et quelques valeurs à connaître (et vive le cercle trigo une fois de plus !). Et il ne faut pas oublier cos²+sin²=1 (qui s'utilise de différentes manières...)
Il y a des liens très fort entre ces fonctions qui donnent naissance a une pléthore de formules de trigonométrie (cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) par exemple), et d'autres dont l'explication nous emmèneraient un peu loin dans ce post
Mais tu peux remarquer que la fonction cosinus correspond à la "vitesse" de la fonction sinus... Plus cos est grand plus sin augmente, tant que cos est positif, sin est croissante, et si cos est négatif, sin est décroissante... Et d'ailleurs la vitesse de sin c'est... -cos ! (ne te fais pas de noeud au cerveau avec ça, si tu ne le voie pas sur un graphique tu le verra plus tard avec tous les outils qui vont bien

[Lostounet]

1) Je pense (je ne suis pas sûr) que la machine utilise une formule du type :
(où x est la valeur de l'angle en radian)
Si je devais un jour calculer un cosinus "un peu quelconque" à la main, je pense que j'emploirais aussi cette formule (aprés quelques petites simplification pour avoir un "x" assez petit). Par contre, je pense que je ne garantirais pas grand chose sur le résultat !!!
Par contre, comme (presque) tout le monde, je connais "par coeur" la valeur du cosinus des "angles remarquables" : 30°, 45°, 60° et 90° et je sais en retrouver quelques autres, par exemple 36°...

2) Pour le "pourquoi le cosinus ne peut pas dépasser 1", et bien... tout dépend de la définition que l'on a du cosinus. Pour toi, c'est "coté_adjacent/hypothénuse" dans un triangle rectangle et, la formule de pythagore montre que l'ypothénuse est effectivement plus grande que les deux autres cotés.

3) Les "rapports" entre le sinus, le cosinus et la tangente, on appelle ça les "formules trigonométriques" : tu devra en apprendre par coeur un certain nombre jusqu'au jour où tu verra les complexes et où on te dira que ça sert à rien de les apprendre par coeur... (mais il faut les apprendre par coeur quand même). Dans le lot (des formules), tu as déjà du voir que :
et
Je ne pense pas qu'il soit utile d'en connaitre d'autres avant d'en avoir besoin. (si tu veux, tape "formules trigonométriques" sous google : tu sera pas déçu...)

Pourquoi ?

[Lostounet]

:zen:

Mouarff, tu en as des questions qui sont intéressantes toi Je vais essayer de te donner quelques éléments :

Il n'y a pas de méthode générale pour avoir une valeur exacte, il y a tout une série de méthodes qui s'appliquent à des cas particuliers... Pour les valeurs approchées je ne connais pas les méthodes effectivement utilisées mais une idée est que l'on peut approcher une fonction (par exemple cosinus) par des polynomes (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, où n est le degré), d'ailleurs cosinus et sinus peuvent être vu comme des "polynomes de degré infini", donc on peut approcher leur valeur en prenant un n très grand et en disant que c'est presque comme l'infini.
Pour la calculatrice elle peut avoir une méthode de ce type là ou des tables enregistrés (de gros ordi ont fait les calculs pour elle) plus quelque routine pour utiliser les symétries simple des fonctions trigonométriques.



Oui c'est suffisant vu ta définition du cosinus. Connais-tu le cercle trigonométrique ? C'est un outil extrêmement pratique et utile en trigo et utilisable dès la 3eme...


heu c'est un peu flou comme question. Il faut savoir que tan = sin / cos. Après il y a tout une série de symétrie qu'il faut savoir manipuler, et quelques valeurs à connaître (et vive le cercle trigo une fois de plus !). Et il ne faut pas oublier cos²+sin²=1 (qui s'utilise de différentes manières...)
Il y a des liens très fort entre ces fonctions qui donnent naissance a une pléthore de formules de trigonométrie (cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) par exemple), et d'autres dont l'explication nous emmèneraient un peu loin dans ce post
Mais tu peux remarquer que la fonction cosinus correspond à la "vitesse" de la fonction sinus... Plus cos est grand plus sin augmente, tant que cos est positif, sin est croissante, et si cos est négatif, sin est décroissante... Et d'ailleurs la vitesse de sin c'est... -cos ! (ne te fais pas de noeud au cerveau avec ça, si tu ne le voie pas sur un graphique tu le verra plus tard avec tous les outils qui vont bien

Très bonnes explications !!!
Donc la trigo, c'est presque toujours des valeurs TRES TRES TRES approchées? (dans les 2 sens)

Oui, j'ai des milliards de questions !!

En fait, comment peut-on visualiser ce polynome pour pouvoir lui faire des approchés ? Je n'ai pas saisi l'idée du cosinus négatif ?? Une longueur/mesure peut-elle être négative ?

[Sylviel]

Toute fonction gentille, c'est a dire régulière, peut s'approximer pour x petit sous la forme :
f(x) = a x + b x² + cx^3...
où les coefficients peuvent se calculer (en fonction de la "vitesse" de la fonction, puis de la vitesse de la vitesse (ie l'accélération), puis de la vitesse de la vitesse de la vitesse (ie l'accélération de la vitesse)...) et pour le cosinus ça te donne ces valeurs. Par contre pour une vraie explication il te faudra attendre un peu, ou alors pas mal de courage pour le comprendre...

d'ailleur tu remarqueras que c'est plus général que ça en a l'air, puisque si tu veux x proche de 1 il suffit d'écrire x = 1+y, y est petit, tu poses g(y) = f(1+y) et tu obtient :
f(x) = f(1+y) = g(y) = a y + b y² + cy^3... (les coeff correspondent à g)
= a (x-1) + b (x-1)² + c(x-1)^3...

[Ben314]

Pourquoi ?

Répondre à ça niveau "colège", c'est pas facile...
Tu peut vérifier avec ta machine (en mode radian et pas degrés) que ça marche bien où mieux, avec l'ordinateur, tracer la courbe de la fonction cosinus, puis celle de 1-(1/2)x^2, puis celle de 1-(1/2)x^2+(1/24)x^4 ...etc
Sinon, pour la théorie, on va dire que l'on peut démontrer que le polynôme (c'est à dire la fonction a+bx+cx^2+dx^3+...) à droite du "=" est celui qui approxime le mieux le cosinus lorsque x est pas rop loin de 0.
Mais pour te donner ne serait-ce qu'une idée de la démarche, il faudrait que tu connaisse au moins les dérivées de fonctions (c'est ce dont parle Sylviel à la fin de son post) et c'est quand même un peu long à expliquer...

Edit, cette fois, je m'est fait grillé !!!!

[Sylviel]

Pour le cosinus négatif demande à ta calculatrice ou ton ordi de tracer une courbe de sin(x) et cos (x)... Pour une explication compréhensible -> cercle trigo, mais il se fait tard pour moi comme pour toi ;-)

[Lostounet]

Je commence un peu à m'enfoncer là?? :S
Je pense qu'il faudrait que je m'accorde un petit délai pour pouvoir comprendre ce que vous dites. Du shopping à la librairie devrait faire l'affaire :X
Qui savait que les triangles cachaient autant de secrets !?!

Bref !
Je pense qu'à 3 heures du matin, j'ai peu de chances de raisonner !
Je vous dis bonne nuit, et, merci beaucoup de votre aide qui m'est très précieuse !
Demain, je relirais pour savoir ce dont j'aurais besoin de savoir.

[Sve@r]

Une longueur/mesure peut-elle être négative ?

Le sens positif/négatif n'est qu'une convention liée à la nécessité de donner une idée de sens ou de direction au nombre.
Exemple: Paris est à 550 km au nord de Lyon et à 850 km au nord de Marseille. A combien Marseille est de Lyon ?
Réponse: on monte sur 850 km puis on descend sur 550km soit 850 - 550 = 300km. Cette opération a utilisé une distance négative représentant ainsi l'idée de déplacement en sens inverse.
On a aussi des températures négatives par rapport à un repère noté 0°C et valant 273°K. On a aussi des sommes négatives représentant des dettes etc etc etc.
Isaac Asimov a même introduit la notion de vitesse négative dans son roman "Nemesis" où il considère la vitesse de la lumière comme étant le repère 0 et où toute vitesse inférieure à cette vitesse serait donc négative.
En fait, un nombre positif/négatif est toujours positif/négatif par rapport à un repère. Positif => il est d'un coté et négatif => il est de l'autre coté.

Un cosinus négatif est la représentation d'un cosinus mesuré sur le cercle trigonométrique mais tombant avant le 0 centre du cercle

[Lostounet]

Le sens positif/négatif n'est qu'une convention liée à la nécessité de donner une idée de sens ou de direction au nombre.
Exemple: Paris est à 550 km au nord de Lyon et à 850 km au nord de Marseille. A combien Marseille est de Lyon ?
Réponse: on monte sur 850 km puis on descend sur 550km soit 850 - 550 = 300km. Cette opération a utilisé une distance négative représentant ainsi l'idée de déplacement en sens inverse.
On a aussi des températures négatives par rapport à un repère noté 0°C et valant 273°K. On a aussi des sommes négatives représentant des dettes etc etc etc.
Isaac Asimov a même introduit la notion de vitesse négative dans son roman "Nemesis" où il considère la vitesse de la lumière comme étant le repère 0 et où toute vitesse inférieure à cette vitesse serait donc négative.
En fait, un nombre positif/négatif est toujours positif/négatif par rapport à un repère. Positif => il est d'un coté et négatif => il est de l'autre coté.

Un cosinus négatif est la représentation d'un cosinus mesuré sur le cercle trigonométrique mais tombant avant le 0 centre du cercle

On pourrait donc considérer les nombres négatifs comme des nombres positifs normaux, mais de direction opposée pour juste montrer une autre direction ?
C'est pourquoi on les appelle nombre relatifs ! :ptdr: Je vois mieux maintenant.
Merci :id:

P.S: Je me suis permis un changement de titre, comme le topic a basculé vers d'autres domaines (ce qui est très bien en fait !)