Danger - Exercices d'Approfondissement

[Billball]

x² = -25
x² + 25 = 0

tu sais que a² + b² = (a + ib)(a-ib)

donc oui c'est ca

[Lostounet]

Y a-t-il des applications intéressantes là-dessus ?

[Sve@r]

Halte au feu. J'ai pas trop suivi ce topic qui est maintenant parti dans une très mauvaise direction.
C'est bien d'avoir pensé à i mais i n'est pas au programme. On va rester dans le monde des réels et oui, c'est factorisable mais évidemment, c'est un peu difficile. Mais bon, tu voulais de la difficulté non ???

Allez, une petite aide: a²+b²=(a+b)² - ...

[Lostounet]

a² + b² = (a + b)² - 2ab
Et oui, j'adore apprendre :ptdr:

[Sve@r]

a² + b² = (a + b)² - 2ab

Et là, un peu de recherche et de perspicacité. (a+b)² - 2ab pourrait être écrit sous forme x²-y²...

[Lostounet]

Mais là, il y a un problème. On ne peut pas écrire ;)(2ab) parce que si a est négatif ?? Ou b? Non?

[Sve@r]

Mais là, il y a un problème. On ne peut pas écrire (2ab) parce que si a est négatif ?? Ou b? Non?

Bien vu, j'y avais pas pensé. Ptet parce que de toute façon, a²+b² reste toujours positif...
Considère donc d'abord a et b positif et ensuite on réfléchira sur les autres cas...

[Lostounet]

(a + b)² - 2ab

(a + b)² - (;){2ab})²

(a + b - ;)2ab)(a + b + ;)2ab)
(a + b - ;)2 * ;)a * ;)b)(a + b + ;)2ab)
(a + b - ;)a * ;)b * ;)2)(a + b + ;)2 * ;)a * ;)b) Ensuite? Je factorise ?

[Sve@r]

(a + b)² - 2ab

(a + b)² - (;){2ab})²

(a + b - 2ab)(a + b + 2ab)

Là ça suffit. Le but était juste de factoriser a²+b². Et comme a²+b² toujours positif, tu peux t'affranchir de a ou b négatif en remplaçant ab par ce qui donnera en final car de toute façon les racines s'élimineront au développement
C'est pas vraiment plus simple... mais bon, c'était amusant. :zen:

[Sylviel]

effectivement les nombres complexes sont largement hors programme mais si tu aimes les maths et que t'as pas de difficultés avec ton cours je t'encourage à être curieux et poser des questions... Eventuellement sur le forum lycée ;-)

Pour info je jouais avec les matrices et les complexes en 3eme, donc tu as le droit de vouloir t'amuser :we:

Mais le calcul de sve@r était bien sympa, et entièrement faisable depuis ton programme !

[Lostounet]

Ah ! Très ingénieux, je n'y aurais jamais pensé !!
Et à propos de i ? :D

[benekire2]

Ah ! Très ingénieux, je n'y aurais jamais pensé !!
Et à propos de i ?

i est l'imaginaire pur tel que i²=-1

donc par exemple racine ( -4)= ... 2i

PS: J'ai lu "nombre normal" , mais c'est quoi un nombre normal , connais pas lol , c'est nombre réel ...

[benekire2]

Là ça suffit. Le but était juste de factoriser a²+b². Et comme a²+b² toujours positif, tu peux t'affranchir de a ou b négatif en remplaçant ab par ce qui donnera en final car de toute façon les racines s'élimineront au développement
C'est pas vraiment plus simple... mais bon, c'était amusant. :zen:

Faut faire très très attention, j'ai pas lu les conditions initiales alors je peut rien dire j'ai pas suivi le fil, mais faut bien penser que racine(a²)=|a|

[Sve@r]

Faut faire très très attention, j'ai pas lu les conditions initiales alors je peut rien dire j'ai pas suivi le fil, mais faut bien penser que racine(a²)=|a|

Ouais, j'ai un peu triché. Mais bon, c'était plus pour le fun d'arriver à factoriser a²+b² que pour faire un vrai calcul de puriste. :zen:

Et à propos de i ?

i est un nombre tel que i²=-1. Il a été inventé au XVIII° et a permis de résoudre des équations du 3° degré (avec des solutions réelles). Puisqu'il a été utile, il a été intégré dans l'ensemble des nombres sous le nom initial de "imaginaire" puis ce nom a été changé en "complexe".
De là, on a créé un nouveau type de nombre nommé "complexe" z contenant une partie réelle et une partie imaginaire. Ainsi z=a+ib.
Ce nombre z obéit aux règles standard donc z²=a² + 2iab + i²b² mais comme i²=-1, ça donne au final z²=a²-b²+i(2ab)

Einstein a utilisé les complexes dans sa théorie de la relativité. Ainsi, un point M de l'espace-temps à 4 dimensions possède une coordonnée réelle pour les 3 premières dimensions (longueur, largeur, hauteur) et une coordonnée complexe pour la 4° (le temps).

[Lostounet]

J'ai cru qu'on pouvait 'truquer' l'expression en mettant des radicaux et des ², comme l'a fait svearounet.
Comme A= ;)(-9)² = ;)81 = 9
Donc on a triché ? C'est pas faisable ? :P

[Lostounet]

i est l'imaginaire pur tel que i²=-1

donc par exemple racine ( -4)= ... 2i

PS: J'ai lu "nombre normal" , mais c'est quoi un nombre normal , connais pas lol , c'est nombre réel ...

Par convention, un nombre normal est un nombre que j'arrive à analyser dans ma jugeotte.
Ah ! Bizarre ce i?! Je l'aime bien.

[Ben314]

Si ça t'interesse toujours, il y a aussi une vision géométrique de "i" (et des autres nombres complexes) :
Tu trace l'axe réel, c'est à dire une droite sur laquelle tu met 0, 1, 2... et aussi quelques négatifs.
Tu regarde maintenant à quoi correspond l'opération "multiplier par -1" : cela envoie les nombres à droite de 0 à gauche et vice versa. Ca consiste en fait à faire un "demi tour" autour de 0, c'est à dire une rotation de 180° (centrée en 0).
Evidement si tu remultiplie une deuxième fois par -1, les réels reviennent à leur point de départ car (-1)²=1.
On voudrait une "opération" qui, si on la fait deux fois, donne un demi tour comme résultat (on cherche un "i" tel que i²=-1).
Géométriquement parlant, la solution est simple, il suffit de faire un quart de tour, c'est à dire une rotation de 90°.
On peut hésiter, est ce que je tourne "vers le haut" ou "vers le bas". Comme ça ne change rien, on choisi (c'est une convention) de tourner "vers le haut".
Multiplier par "i", cela veut donc dire "faire un quart de tour vers le haut" (centré en 0).
Ou est situé "i" ? c'est simple, comme i=1xi, il faut prendre le réel 1 et lui faire faire un quart de tour vers le haut.
Mais, ce point n'est pas sur l'axe des réels !!!
C'est normal puisque "i" n'est pas un réel.

[Lostounet]

Si ça t'interesse toujours, il y a aussi une vision géométrique de "i" (et des autres nombres complexes) :
Tu trace l'axe réel, c'est à dire une droite sur laquelle tu met 0, 1, 2... et aussi quelques négatifs.
Tu regarde maintenant à quoi correspond l'opération "multiplier par -1" : cela envoie les nombres à droite de 0 à gauche et vice versa. Ca consiste en fait à faire un "demi tour" autour de 0, c'est à dire une rotation de 180° (centrée en 0).
Evidement si tu remultiplie une deuxième fois par -1, les réels reviennent à leur point de départ car (-1)²=1.
On voudrait une "opération" qui, si on la fait deux fois, donne un demi tour comme résultat (on cherche un "i" tel que i²=-1).
Géométriquement parlant, la solution est simple, il suffit de faire un quart de tour, c'est à dire une rotation de 90°.
On peut hésiter, est ce que je tourne "vers le haut" ou "vers le bas". Comme ça ne change rien, on choisi (c'est une convention) de tourner "vers le haut".
Multiplier par "i", cela veut donc dire "faire un quart de tour vers le haut" (centré en 0).
Ou est situé "i" ? c'est simple, comme i=1xi, il faut prendre le réel 1 et lui faire faire un quart de tour vers le haut.
Mais, ce point n'est pas sur l'axe des réels !!!
C'est normal puisque "i" n'est pas un réel.

Magnifique !
Je comprendrais peut-être plus avec d'autres nombres complexes ? Il y en a?

Et une question: A quoi servent les nombres complexes ? Parce que contrairement aux réels qui peuvent facilement s'intégrer à la vie quotidienne, les complexes .. je ne vois pas du tout comment on pourrait les rendre utiles -à part pour faciliter quelques représentations, résoudre une équation à discriminant négatif, etc. ?

[Ben314]

Oui, il y a plein d'autre nombre complexes : sve@r te l'a dit, il sont tous de la forme a+bi où a et b sont des nombres réels.
Sur le "dessin" avec l'axe réel, le complexe a+bi se place au point de coordonnées (a,b) [tu as vu les coordonnées d'un point ?]

Il y a des tas et des tas d'applications des nombres complexes.

Parmi les premières que tu verra, il y a la trigonométrie (les fonction sinus et cosinus) : les nombres complexes permettent de trés grandement simplifier les choses.

Une deuxième application que tu verra assez tôt c'est pour la géométrie, par exemple pour mieux comprendre les rotations (comme par hasard)

Enfin, plus tard, tu comprendra qu'en math, les choses se passent beaucoup plus simplement dans les complexes que dans les réels : toute équation "polynômiale" (par exemple 5x^4-8x^2+x-7=0) as forcément des solution alors que ce n'est pas le cas dans R (x²+1=0 n'as pas de solutions) et il y a beaucoup beaucoup de calculs où on passe par les nombres complexes pour résoudre un problème dont on sait trés bien que la solution est réelle.

Enfin, et là je connais moins bien, il y a aussi beaucoup d'application en physique, les plus simples concernant par exemple l'electricité ou les phénomènes de vibrations amorties (tu tire sur un ressort avec un poid au bout puis tu lache, il se passe quoi ?) parmi les plus compliqués, sve@r t'as cité la relativité d'einstein (pour moi, ce n'est pas tout à fait des nombres complexes, mais c'est un détail)

[Lostounet]

Oui, il y a plein d'autre nombre complexes : sve@r te l'a dit, il sont tous de la forme a+bi où a et b sont des nombres réels.
Sur le "dessin" avec l'axe réel, le complexe a+bi se place au point de coordonnées (a,b) [tu as vu les coordonnées d'un point ?]

Il y a des tas et des tas d'applications des nombres complexes.

Parmi les premières que tu verra, il y a la trigonométrie (les fonction sinus et cosinus) : les nombres complexes permettent de trés grandement simplifier les choses.

Une deuxième application que tu verra assez tôt c'est pour la géométrie, par exemple pour mieux comprendre les rotations (comme par hasard)

Enfin, plus tard, tu comprendra qu'en math, les choses se passent beaucoup plus simplement dans les complexes que dans les réels : toute équation "polynômiale" (par exemple 5x^4-8x^2+x-7=0) as forcément des solution alors que ce n'est pas le cas dans R (x²+1=0 n'as pas de solutions) et il y a beaucoup beaucoup de calculs où on passe par les nombres complexes pour résoudre un problème dont on sait trés bien que la solution est réelle.

Enfin, et là je connais moins bien, il y a aussi beaucoup d'application en physique, les plus simples concernant par exemple l'electricité ou les phénomènes de vibrations amorties (tu tire sur un ressort avec un poid au bout puis tu lache, il se passe quoi ?) parmi les plus compliqués, sve@r t'as cité la relativité d'einstein (pour moi, ce n'est pas tout à fait des nombres complexes, mais c'est un détail)

Ca devient de plus en plus intéressant ! Je pense que ça devrait suffir, "pour mon age" ? J'aimerais bien en savoir plus. Mais pour les rapports trigo, j'ai quelques questions qui me tourmentent !!
J'aimerais les anéantir avant de passer aux choses sérieuses ?
1- Comment Calculer le cosinus à la main? Comment la calculatrice fait-elle?
2- Pourquoi est-ce que le cosinus ne peut dépasser 1 (je sais que l'hypoténuse est le plus grand coté, quand on divise un nombre par un plus grand.. mais est-ce suffisant comme argument ? ça revient à la 1ère question)
3- Comment Calculer le rapport de la tangente ? Est-ce qu'il y a des choses particulières à connaitre sur la différence /points communs entre sinus cosinus et tangente?
Plein de questions que je n'ai pas le courage de lancer!

Sur ce, je vous remercie infiniment, Ben, Sve@r, Sylv, Bill (je n'oublie personne) pour votre aide sur le fil! Merci!