Utilité des nombres complexes pour les additions de rotations

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
jtruc34
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Utilité des nombres complexes pour les additions de rotations

par jtruc34 » 26 Fév 2012, 16:37

Bonjour,

j'aimerais savoir pourquoi, pour additionner des rotations, on utilise les nombres complexes.
Ex:
rayon = 1
alpha = 20°
beta = 30°
Z1 = rayon*exp(i*alpha)
Z2 = rayon*exp(i*beta)
Z1+Z2 = rayon*exp(i*(alpha+beta))

Merci



SaintAmand
Membre Rationnel
Messages: 901
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par SaintAmand » 26 Fév 2012, 17:28

jtruc34 a écrit:Z1+Z2 = rayon*exp(i*(alpha+beta))


Non. .

Et d'abord peux-tu m'expliquer ce que signifie «additionner des rotations» ? En ce qui me concerne, je ne sais pas faire autre chose que les composer.

jtruc34
Messages: 6
Enregistré le: 26 Fév 2012, 16:31

par jtruc34 » 28 Fév 2012, 14:38

1er rotation de 40°
2e rotation de 20°
1er rotation + 2e rotation = 3e rotation = 60°

en fait c'est pour la 3d ensuite pur éviter un probème que l'on appelle gimbal lock ou bloquage de cardan. c'est la perte d'un degré de liberté. et la on remplace le nombre complexe par un quaternion.

jtruc34
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par jtruc34 » 29 Fév 2012, 17:50

Je modifie un peu ce qu j'ai dis car j'ai vu que cela n'était pas vraiment clair :we: .

Voila ce que je voulais savoir: pourquoi utilise-on les quaternions pour faire plusieurs rotations sans avoir le problème facheux qui se nomme le gimbal lock, bloquage de cardan ou encore perte de degré de liberté lors de deux rotations successive. D'après ce que j'ai compris, on les utiliserait sous forme de coordonnés polaires avec la fonction exponntielle.

Merci

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 29 Fév 2012, 18:14

Bonjour,
Comme dit Saint-Amand, l'addition de 2 rotation, on ne sait pas ce que c'est. Les diverses transformations se composent, se combinent mais ne s'additionnent pas.
Je pense qu'avant de partir dans des théories compliquées, il serait préférable d'expliquer simplement ce que vous voulez faire.
Par exemple la 3D, OK, mais dans quel contexte ?
Pourquoi faites-vous des rotations qui risquent de se bloquer ?
etc.
Les mathématiques constituent un outil, mais si l'utilisation de cet outil complique les choses, il vaut mieux en rester aux notions simples.

jtruc34
Messages: 6
Enregistré le: 26 Fév 2012, 16:31

par jtruc34 » 05 Mar 2012, 20:41

Bon voila. Je vais tout reformuler:

Je suis en 3D sous DirectX. Je fais un avion qui peut faire une rotations X, Y ou Z. Je décide de faire une rotation de 90° vers le haut(ci long de l'axe Y) et ensuite de tourner de 90° vers la droite(normalement, dans l'axe de lacet, l'axe X, étant donné que je suis à la verticale), mais au-lieu de tourner sur l'axe de lacet, l'avion s'enroule sur lui-même. X est devenu Z ! C'est le gimbal lock, ou bloquage de cardan(pour ceux qui n'ont pas bien compris, il y a une explication icihttp://fr.wikipedia.org/wiki/Blocage_de_cardan ). Alors, mon livre m'explique d'utiliser les quaternions, avec une introduction avec des nombres complexes. Et là je ne sais pas pourquoi il me dis ça.

Dlzlogic
Membre Transcendant
Messages: 5273
Enregistré le: 14 Avr 2009, 14:39

par Dlzlogic » 05 Mar 2012, 21:29

Vous savez, un avion peut voler parce qu'il a des ailes et c'est la résistance de l'air qui lui permet de tenir en vol, de tourner, de monter etc..
Si vous le faites voler à la verticale, ce n'est plus un avion, mais une fusée.
Dans tous les cas, un avion a un cap vers lequel il se dirige.
Pour un avion, comme pour bien d'autres choses, la gravité est un élément très important. Généralement, on travaille en 2.5D, c'est à dire qu'on travaille dans le plan horizontal, avec des variations d'altitude.
Il est vrai qu'il y a des objets que l'on ne peut étudier qu'en 3D, je pense à une hélice. Ceci étant dit, rien n'empêche d'avoir une visualisation en 3D.

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5020
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 05 Mar 2012, 21:49

Ben c'est normal parceque l'axe Z de l'espace, ce n'est pas la même chose que l'axe Z attaché à l'avion, qui a été modifié pendant la première rotation.

Les rotations sont généralement représentées par des matrices 3*3 (orthogonales et de déterminant 1) ou par des quaternions (je m'en suis jamais servi donc j'en sais pas beaucoup là-dessus).

L'ennui d'utiliser les matrices, c'est qu'au cours de tes calculs de compositions de matrices, tu risques à force d'accumuler les arrondis, d'obtenir des matrices plus tout à fait orthogonales ni tout à fait de déterminant 1, donc si tu fais beaucoup de compositions faut garder un oeil là-dessus. De plus il y a beaucoup d'informations redondantes (tu gardes 9 nombres alors que 3 nombres suffisent pour déterminer une matrice de rotation).

Si tu veux calculer avec les angles d'euler, bah il faut déjà aller chercher les formules de compositions qui vont bien (j'ose pas les imaginer. en comparaison, la multiplication de matrice est simplissime), mais tu auras des problèmes de stabilité : dans certaines positions, composer ta rotation avec une toute petite rotation change les angles démesurément. C'est vraiment pas un truc à utiliser.

Pour les quaternions, j'imagine qu'on se balade avec 4 nombres donc plus léger qu'une matrice et que c'est plus stable que les angles d'euler, mais après je n'en sais pas plus.

 

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