Trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 3

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Annie0
Messages: 2
Enregistré le: 16 Avr 2021, 13:58

Trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 3

par Annie0 » 16 Avr 2021, 14:16

Dans le cadre d'un oral, je m'intéresse à la résolution de racines de polynôme de degrés supérieurs à 3.
Pour ça, je me suis pas mal renseignée, et le meilleur moyen reste de factoriser petit à petit avec des racines qu'on trouve au fur et à mesure.
On va prendre par exemple : x^4 + x^3 -11x^2 -5x +30 = 0
Pour trouver ces racines "évidentes", je me sers des diviseurs de la constante (ici la constante est 30, ses diviseurs +- (1;2;3;5;6;10;15;30)
Je teste les diviseurs par division synthétique et ça me permet de trouver des racines entières puis de factoriser. Donc le degré descend, on répète jusqu'à tomber sur un polynôme de degré deux et alors les 4 solutions apparaissent facilement.
Ma(Mes) question est la suivante :
Comment on fait si il n'y a pas de racines entières ? Ou alors si elles ne suivent pas les divisions synthétiques, si elles ne sont pas rationnelles ?
Est ce que si une solution de ce calibre admet uniquement deux solutions, cela signifie que les reste des solutions est complexe ? (Parce que j'ai lu que tout polynôme admet autant de racines que son degré)
Merci d'avance



hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1881
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 3

par hdci » 16 Avr 2021, 14:25

Bonjour,

Il existe la formule pour le seconde degré (delta positif etc.).
Pour le 3ème degré, il existe les "formules de Cardan" permettant de décrire les solutions.
Pour le 4ème degré, il existe à nouveau des formules.
...
Et c'est tout. Evariste Galois a démontré en 1839 à l'âge de 17 ans qu'il n'y avait pas de formule générale à partir du 5ème degré.
Donc dans certains cas on ne sait pas décrire exactement les racines d'un polynôme de degré n>=5 (mais on connaît des méthodes pour les approcher, ne serait-ce que par application du TVI dans le cas des racines réelles).
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Annie0
Messages: 2
Enregistré le: 16 Avr 2021, 13:58

Re: Trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 3

par Annie0 » 16 Avr 2021, 14:36

Bonjour,
Merci de votre réponse
J'avais en effet entendu parler des formules de Cardan, ça va me permettre de ne nécessiter non plus deux mais une seule solution entière.
Merci aussi pour la suggestion du TVI, ça peut aussi m'être très utile.

Black Jack
Habitué(e)
Messages: 5169
Enregistré le: 31 Juil 2008, 11:17

Re: Trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 3

par Black Jack » 17 Avr 2021, 17:29

Bonjour.

Cardan ... c'est pour le 3ème degré.

Pour le degré 4, sauf cas particulier (équations bicarrées), on peut appliquer la méthode de Ferrari dont on peut trouver des explications sur le net.

8-)

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 4848
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: Trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 3

par GaBuZoMeu » 17 Avr 2021, 18:33

Bonjour,

hdci a écrit:Donc dans certains cas on ne sait pas décrire exactement les racines d'un polynôme de degré n>=5 (mais on connaît des méthodes pour les approcher, ne serait-ce que par application du TVI dans le cas des racines réelles).


Tout dépend ce qu'on appelle "décrire exactement". Par exemple, on sait manipuler exactement les racines (réelles ou complexes) d'un polynôme à coefficients entiers de n'importe quel degré. Par manipuler exactement, je veux dire par exemple répondre de manière exacte à la question "telle racine de tel polynôme est-elle plus petite, plus grande ou égale à telle racine de tel autre polynôme", etc.
De ce pont de vue, il n'y a pas de différence avec le fait de disposer d'une formule avec des radicaux.

Par exemple, dans un logiciel comme SageMath, les classes AA (pour les réels algébriques) ou QQbar (pour les nombres algébriques) permettent de faire ces calculs exacts.

 

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