Dx/dt

[Pafapafadidel]

Bonjour a tous!

Dans mon cours sur le calcul différentiel, l'auteur a souvent recours a la notation "physicienne" dx/dt. Soit. Lorsque l'auteur prends des libertés avec cette notation, notant des trucs du genre dx/dt=x équivalent a dx/x=dt, c'est toujours suivit d'une intégration, et c'est donc facile a interpréter.

Fort de cette compréhension intuitive, je suis tout de meme récemment tombé sur un hic. L'auteur attaque fort en écrivant:

dx/dt=f(x) équivaut a dt/dx=1/f(x)

puis, en considérant le vecteur , prétends que le systeme

équivaut a
et pour f_n différent de 0 autour de x_n, puis
pour les f_i non simultanément égales a 0 autour de x.

Intuitivement, en interprétant le tout avec des intégrales (encore une fois), j'arrive a voir ce que tout cela veut dire, mais pour continuer, j'ai besoin d'une définition précise de cette équation, la suite devenant trop vague sinon. Quelqu'un pourrait il me traduire tout cela de facon mathématique?

Merci d'avance.

[Finrod]

Tu devrais trouver ton bonheur dans la théorie des formes différentielles.

[Black Jack]

Bonjour a tous!

Dans mon cours sur le calcul différentiel, l'auteur a souvent recours a la notation "physicienne" dx/dt. Soit. Lorsque l'auteur prends des libertés avec cette notation, notant des trucs du genre dx/dt=x équivalent a dx/x=dt, c'est toujours suivit d'une intégration, et c'est donc facile a interpréter.

Fort de cette compréhension intuitive, je suis tout de meme récemment tombé sur un hic. L'auteur attaque fort en écrivant:

dx/dt=f(x) équivaut a dt/dx=1/f(x)

puis, en considérant le vecteur , prétends que le systeme

équivaut a
et pour f_n différent de 0 autour de x_n, puis
pour les f_i non simultanément égales a 0 autour de x.

Intuitivement, en interprétant le tout avec des intégrales (encore une fois), j'arrive a voir ce que tout cela veut dire, mais pour continuer, j'ai besoin d'une définition précise de cette équation, la suite devenant trop vague sinon. Quelqu'un pourrait il me traduire tout cela de facon mathématique?

Merci d'avance.

Les manipulations de dx, dt et autres que tu attribues aux physiciens sont effectivement très intuitives mais ne manquent pas de rigueur mathématique comme on l'entend beaucoup trop souvent dire par maints "mathématiciens" ou qui pensent l'être.

Ces manipulations "d'infiniment petits" ont effectivement été utilisées bien avant que les mathématiciens se penchent sérieusement sur ce que cela impliquait.

Dans les années 1960, quelques grands mathématiciens ont étudié ce type de pratiques des physiciens et ils ont (les mathéméticiens) mis au point la théorie de l'ANS (Analyse non standard), cette théorie MATHEMATIQUE est tout à fait rigoureuse et a parfaitement défini le cadre d'utilisation des "infiniments petits".

L'analyse non standard (qui est maintenant une théorie mathématique) permet de traiter la notion d'infiniment petits de manière rigoureuse.

... Et cela devrait faire taire les" mathématiciens" qui critiquent celle manière de faire des physiciens, même si cette manière de faire existait bien avant que les mathématiciens ne développent l'ANS.

On dit quelques mots sur l'ANS sur ce lien:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

:zen:

[Nightmare]

Les manipulations de dx, dt et autres que tu attribues aux physiciens sont effectivement très intuitives mais ne manquent pas de rigueur mathématique comme on l'entend beaucoup trop souvent dire par maints "mathématiciens" ou qui pensent l'être.

Tiens, ça m'aurait étonné que tu dises le contraire :soupir2:

Je sais pas quels cours de physique tu as suivi, mais les miens en tout cas, ils étaient bourrés de faute de rigueur. Même chose à l'unique conférence de physique que j'ai suivi.

Mais bon, il doit y avoir différentes définitions de la rigueur je suppose :lol3:

[Benjamin]

Je plussoie Nightmare, et je suis plutôt physicien moi aussi !
Ce qui est vrai, c'est qu'on a le droit de faire en physique ce que l'ont fait parce que les mathématiciens ont étudié la question de manière rigoureuse et nous ont dit qu'on pouvait le faire. Je n'ai jamais vu un physicien montrer qu'il avait le droit d'inverser une somme infinie avec une intégrale...

[Finrod]

Il y a aussi des information qui sont directement extraites de la situation étudiée.
C'est trop loin pour que je m'en souvienne mais mon professeur de physique de sup s'exclamait souvent que tel ou tel truc ne nécessitait pas de calcul car cela se voyait physiquement.

Si j'avais un exemple, ce serait plus convainquant.

[Benjamin]

Oui tout à fait. Une énergie ne peut pas être infinie par exemple.

[Black Jack]

Tiens, ça m'aurait étonné que tu dises le contraire :soupir2:

Je sais pas quels cours de physique tu as suivi, mais les miens en tout cas, ils étaient bourrés de faute de rigueur. Même chose à l'unique conférence de physique que j'ai suivi.

Mais bon, il doit y avoir différentes définitions de la rigueur je suppose :lol3:

Ce n'est pas parce que tes cours de Physique étaient bourrés d'erreurs que c'est la même chose pour tous.
Il y a autant de mauvais profs de physique que de mauvais profs de Math.

La théorie mathématique de l'ANS a le grand mérite d'avoir "légalisé" ce que faisaient depuis longtemps les physiciens ... Et c'est très bien ainsi.

Maintenant, encore oser prétendre que les manipulations d'infiniment petits tels que le font les physiciens (les vrais, pas certains profs qui ne font de l'enseignement que parce qu'ils sont incapables de faire de la vraie pratique) ne sont pas licites est une incommensurable bêtise. Ces manipulations ont toute la rigueur voulue (celle qui leur est conférée par l'ANS).

Cela sous entend que tu ignores de qu'est vraiment le théorie de l'ANS.

Il te reste donc à essayer de comprendre de quoi il s'agit.

:zen:

[Black Jack]

Il y a aussi des information qui sont directement extraites de la situation étudiée.
C'est trop loin pour que je m'en souvienne mais mon professeur de physique de sup s'exclamait souvent que tel ou tel truc ne nécessitait pas de calcul car cela se voyait physiquement.

Si j'avais un exemple, ce serait plus convainquant.

Peut être ton prof faisait-il partie de la catégorie que j'ai mentionné dans ma réponse à "Cauchemar".

Il faut aussi se rendre compte que parfois, en fonction du niveau d'étude atteint, certaines choses doivent être admises sans démonstration même si cette démonstration est faisable.
Et aussi que les théories physiques sont souvent issues de l'observation et donc pas démontrables au sens que l'entendent les matheux.

Mais ceci n'a rien à voir avec le sujet de la question, soit les manipulations d'infiniment petits qui ont été parfaitement "légalisés" et "encadrés" par l'ANS.

:zen:

[Nightmare]

Ce n'est pas parce que tes cours de Physique étaient bourrés d'erreurs que c'est la même chose pour tous.
Il y a autant de mauvais profs de physique que de mauvais profs de Math.

Apparemment pas que les miens, Cf les messages ci dessus. En fait, j'ai l'impression que c'est toi qui a grandit dans un monde différent des autres, où les physiciens font des maths rigoureusement, et où les fonctions périodiques admettent toujours une plus petite période

Cela sous entend que tu ignores de qu'est vraiment le théorie de l'ANS.

Il te reste donc à essayer de comprendre de quoi il s'agit.

Non effectivement, je ne suis pas un expert sur le sujet, c'est pour ça que je ne me suis pas avancé dessus d'ailleurs. Ce que je dis, c'est que quand il s'agit de faire de l'analyse standard, les physiciens ont tendance à oublier le fond et parfois même la forme. Maintenant, il est certain que l'analyse non standard est un bon compromis.

[Black Jack]

Oui tout à fait. Une énergie ne peut pas être infinie par exemple.

Oui et alors où veux-tu en venir ?

Si c'est relatif à dx/dt = 1/(dt/dx)) il n'y a pas de problème du moins si dt et dx sont utilisés comme infiniment petits conformément à ce qui est défini par l'ANS. Un infiniment petit n'est jamais nul.

Où alors qu'elle est ta préoccupation ?

Dans l'analyse Standard, dx/dt est considéré comme la dérivée de x par rapport à t, et dans l'ANS, cest le rapport de 2 infiniment petits.

Si on choisit d'étudier un problème en ANS, il faut se rendre compte que dx et dt ne doivent être compris de la même manière que dans l'écriture dx/dt dans l'analyse standard.

Loin de moi d'essayer de faire un cours d'ANS, j'en suis bien incapable.
Mais cela n'enlève rien à la rigueur de cette théorie (qui est faut-il le rappeler une théorie mathématique)... qui "légalise" les pratiques des physiciens.

:zen:

[Benjamin]

A chacun son domaine. De tout temps, les physiciens ont demandé aux matheux de leur faire des cadres théoriques. On ne parle pas d'un manque de rigueur des physiciens dans l'élaboration de la théorie physique. On parle de manipulations mathématiques faites souvent sans justification parce qu'on sait qu'on a le droit soit pour des raisons physiques, soit parce que les matheux ont dit qu'on pouvait y aller sans problème.

Par ailleurs, je n'ai vu nul part Nightmare dire qu'on ne pouvait pas faire de manipulation licite de l'écriture dx/dt comme tu sembles le sous-entendre...

Enfin, pour ce qui est de la physique de haut niveau, je ne connais absolument pas la rigueur mathématique de ces physiciens là et je m'abstiens donc de toutes remarques à ce sujet (je précise pour ne pas que te viennes l'envie de me faire dire ce que je ne dis pas).

[Benjamin]

Oui et alors où veux-tu en venir ?
Où alors qu'elle est ta préoccupation ?

Tu peux aussi peut-être arrêter d'être parano. Je veux en venir à un raccourci que prenne les physiciens avec la rigueur quand il y a des raisons physiques. Et je répondais à la remarquer de Finrod.

Exemple : je sais que telle quantité est bornée parce que c'est une énergie. Ca ne suffirait jamais à un matheux.

Voir mon post précédent sur la manipulation de des dx et des dt : personne ne critique ça. On dit juste que ce n'est pas rigoureux.

Ca me rappelle une fois une conf d'un physicien. C'était marrant il avait démontré un résultat de deux façons. Il faisait une blague en fait. D'un côté il a écrit : le matheux résout le problème de cette façon. De l'autre : le physicien résout le problème de cette façon. D'un côté du tableau, il y avait de la rigueur, de l'autre non. Ca ne remet pas en cause la justesse du résultat et de la démarche.

[Black Jack]

Apparemment pas que les miens, Cf les messages ci dessus. En fait, j'ai l'impression que c'est toi qui a grandit dans un monde différent des autres, où les physiciens font des maths rigoureusement, et où les fonctions périodiques admettent toujours une plus petite période




Non effectivement, je ne suis pas un expert sur le sujet, c'est pour ça que je ne me suis pas avancé dessus d'ailleurs. Ce que je dis, c'est que quand il s'agit de faire de l'analyse standard, les physiciens ont tendance à oublier le fond et parfois même la forme. Maintenant, il est certain que l'analyse non standard est un bon compromis.

Comme tu veux monsieur "Je sais tout".

Tu confonds les vrais "physiciens" avec ... les autres.
Comme tu confonds les vrais "Mathématiciens" et ... les autres.
Et nous sommes tous les deux dans "les autres" ne t'en déplaise.

N'importe quel crétin peut faire de la soit-disant Physique ou des soit-disant mathématiques sans aucune rigueur ...

Mais cela ne remet pas en cause les théories appliquées correctement par ceux qui savent.

Et l'ANS a parfaitement "encadré et légalisé" les pratiques que les "vrais physiciens " employaient depuis des lustres.

Tout le reste n'est que bla bla.
Et les "mathématiciens de bas étages" qui continuent à crier Haro sur les pratiques des "physiciens" quand ils manipulent les infiniment petits dans les règles prescrites par l'ANS, sont des crétins ou du moins des ignorants.
Par grave de ne pas savoir, mais s'entêter dans les conneries est autre chose.


:zen:

[Black Jack]

Voir mon post précédent sur la manipulation de des dx et des dt : personne ne critique ça. On dit juste que ce n'est pas rigoureux.

Et bien tu te trompes dans les grandes largeurs.

Je t'invite à te renseigner sur l'ANS, théorie mathématique parfaitement rigoureuse qui montre que la manipulation des dx et dt comme le font les physiciens (les bons, pas n'importe qui qui se pense physicien) est parfaitement rigoureux.

:zen:

[Benjamin]

Et bien tu te trompes dans les grandes largeurs.

Je t'invite à te renseigner sur l'ANS, théorie mathématique parfaitement rigoureuse qui montre que la manipulation des dx et dt comme le font les physiciens (les bons, pas n'importe qui qui se pense physicien) est parfaitement rigoureux.

:zen:

Je crois que tu n'as toujours pas compris ce que je suis en train de te dire. Ne sois pas borné à ta définition de ce qu'est la rigueur.
Quand un physicien inverse une somme infinie avec une intégrale, il ne démontre pas les 3 hypothèses de convergence uniforme etc.. qu'il devrait vérifier avant de savoir qu'il a le droit de le faire.
Pour autant, ce qu'il est fait est rigoureux en ce sens où il sait, d'une part parce qu'il fait de la physique donc son signal électrique a les bonnes propriétés, et d'autres part parce que les matheux lui ont dit qu'il avait le droit de le faire, qu'il peut le faire sans soucis.

Ce n'est pas une ignorance de la part du physicien. C'est une prise de liberté avec les lourdeurs mathématiques. De la même façon, manipuler des dx et des dt est parfaitement plein de sens physique, et je ne remets pas ça en cause. Quand on fait de la thermo et qu'on manipule des fonctions d'état, on utilise le théorème des fonctions implicites. Permet moi de te dire à nouveau qu'on ne s'amuse pas à regarder si les fonctions vérifient les hypothèses de régularité requises par ce théorème.

Il n'empêche que les résultats sont justes, et que les physiciens ont le droit de faire ce qu'ils font !! Il ne faut pas confondre faire des choses illicites (ce que tu me fais dire depuis le début et que je n'ai jamais dit) avec ne pas vérifier certaines choses parce qu'on sait qu'on n'en a pas besoin en physique (ce que j'appelle un manque de rigueur).

[Nightmare]

Comme tu veux monsieur "Je sais tout".

Amusant pour quelqu'un qui n'admet jamais avoir tort :happy3:

[Black Jack]

Je crois que tu n'as toujours pas compris ce que je suis en train de te dire. Ne sois pas borné à ta définition de ce qu'est la rigueur.
Quand un physicien inverse une somme infinie avec une intégrale, il ne démontre pas les 3 hypothèses de convergence uniforme etc.. qu'il devrait vérifier avant de savoir qu'il a le droit de le faire.
Pour autant, ce qu'il est fait est rigoureux en ce sens où il sait, d'une part parce qu'il fait de la physique donc son signal électrique a les bonnes propriétés, et d'autres part parce que les matheux lui ont dit qu'il avait le droit de le faire, qu'il peut le faire sans soucis.

Ce n'est pas une ignorance de la part du physicien. C'est une prise de liberté avec les lourdeurs mathématiques. De la même façon, manipuler des dx et des dt est parfaitement plein de sens physique, et je ne remets pas ça en cause. Quand on fait de la thermo et qu'on manipule des fonctions d'état, on utilise le théorème des fonctions implicites. Permet moi de te dire à nouveau qu'on ne s'amuse pas à regarder si les fonctions vérifient les hypothèses de régularité requises par ce théorème.

Il n'empêche que les résultats sont justes, et que les physiciens ont le droit de faire ce qu'ils font !! Il ne faut pas confondre faire des choses illicites (ce que tu me fais dire depuis le début et que je n'ai jamais dit) avec ne pas vérifier certaines choses parce qu'on sait qu'on n'en a pas besoin en physique (ce que j'appelle un manque de rigueur).

Désolé mais tu te trompes.

Les physiciens (les vrais) ne prennent aucune liberté mathématique dans les manipulations qu'ils font des infiniment petits.

Avant 1960, les physiciens utilisaient ces manipulations alors qu'il n'existaient pas une étude mathématique qui montrait leur rigueur.

En 1960, Robinson, un grand mathématicien s'est attaqué au problème et a établi (avec quelques autres) une théorie mathématique (qu'on appelle ANS, pour analyse non standard) qui a permis de parfaitement définir les notions d'infiniment petits et toutes les maniplulations permises avec ces "infiniment petits".

Et cette théorie mathématique donne maintenant toute la rigueur mathématique voulue pour les pratiques des physiciens.

Avant 1960, les pratiques de physiciens menaient à des résultats corrects mais la rigueur mathématique de ces pratiques n'avait pas été mathématiquement démontrée.

Depuis les travaux mathématiques de Robinson, les pratiques de physiciens mênent évidemment toujours à des résulats corrects mais maintenant la rigueur mathématique de ces pratiques a été mathématiquement démontrée... Et ne peut donc plus être mathématiquement contestée pour manque de rigueur.

Si cela t'intéresse, j'ai trouvé sur ce lien : http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewmessage.html?SESSID=097b030c7b4aaf9e9fd2f91c7ef382be&thread=50761&ord=0

les références de quelques excellents bouquins sur l'ANS.


:zen:

[Black Jack]

Amusant pour quelqu'un qui n'admet jamais avoir tort :happy3:

Ce n'est pas parce que ceux qui ont tort sont en majorité qu'ils ont raison.

Les mathématiques et la physique n'ont rien à voir avec la démocratie.

Et vive l'ANS même si elle t'est étrangère.

:ptdr:

[Nightmare]

Et nous sommes tous les deux dans "les autres" ne t'en déplaise.

Et qui es-tu pour en juger?

N'importe quel crétin peut faire de la soit-disant Physique ou des soit-disant mathématiques sans aucune rigueur ...

Merci d'en avoir été la preuve.

Et l'ANS a parfaitement "encadré et légalisé" les pratiques que les "vrais physiciens " employaient depuis des lustres.

Selon tes dires, tu n'es toi même pas un expert en la matière, mais malgré cela, tu sembles appuyer toute ton argumentation là dessus.

Et les "mathématiciens de bas étages" qui continuent à crier Haro sur les pratiques des "physiciens" quand ils manipulent les infiniment petits dans les règles prescrites par l'ANS, sont des crétins ou du moins des ignorants.
Par grave de ne pas savoir, mais s'entêter dans les conneries est autre chose.

Encore une fois, je ne pense pas que tu sois un physicien assez brillant et génialissime pour avoir la prétention de dire de certains qu'ils sont de "bas étages". Tu dois avoir de très grosses chevilles.

Ce que j'en dis, c'est que les outils qu'utilisent les physiciens sont théoriser par les mathématiciens et ce sont eux qui les définisse rigoureusement. Donc si la grande majorité des mathématiciens s'accordent à dire que les physiciens ne sont pas totalement rigoureux, c'est peut être parce que dans le fond c'est vrai non? Ou surement veux-tu t'opposer à toute la communauté mathématicienne.
Même ma prof de physique de sup (diplômée d'Ulm, pour ne pas que la pauvre soit catégorisée comme une physicienne de "bas-étage") nous avait fait tout un débat en début d'année à ce sujet, pour nous dire à peu près ce que Benjamin essaye de te faire comprendre.