Problème de théorie des nombres

[wserdx]

Bonjour,
Au cours d'une recherche, je tombe sur la propriété suivante qui semble vraie expérimentalement
mais dont je n'ai pas encore de démonstration:
soit un nombre premier congru à 5 modulo 8,
alors 2 et -2 n'ont pas de racine carrée dans (corps à éléments)
et même plus :
pour tout entier positif, les polynômes et sont irréductibles dans .
Est-ce que quelqu'un sait si cette propriété est un cas particulier d'un théorème plus général ou voit comment la démontrer?
Merci à vous!

[Robot]

Tu peux regarder "réciprocité quadratique" pour la première partie (le cas de fait partie de l'énoncé : est un carré modulo si et seulement si est congru à ou modulo ; le cas de s'en déduit).

[wserdx]

Merci, bien vu! Cela me donne la réponse à la première partie. Pour la deuxième, je vais tenter une récurrence... A suivre!

[wserdx]

Je pense que le cas de 2 n'est pas particulier pour la suite. Il faudrait que je puisse juste obtenir pour l'induction ceci:
Si et ne sont pas des carrés dans un corps fini , alors leurs racines carrées dans une extension quadratique, par exemple, ne sont pas des carrés.
Mais pour l'instant, je ne vois pas encore ...

[wserdx]

Bon, je pense que c'était la bonne approche :
Soit un élément de à éléments, soit une racine de dans
L'autre racine de est (car conjuguée) donc .
Les deux racines de sont donc et et elles sont conjuguées d'où .
S'il existe un élément dans tel que , on doit avoir dans
d'où or , d'où impossibilité.

[Doraki]

Tu peux expliquer pourquoi β^(p(p+1)) = β^(p+1) ?

[Ben314]

où donc c'est à dire .

Sinon.... bien joué wserdx...

[wserdx]

Oui, pour résumer, on a donc:
Soit un élément d'un corps fini . Si et sont irréductibles dans , alors pour tout entier , et sont aussi irréductibles dans .
Ce résultat me sert d'illustration dans un papier sur les isomorphismes de polynômes. Je ne suis pas très aguerri au fait de chercher dans la littérature si ce résultat est déjà connu, mais je ne doute pas qu'il le soit!
Si vous avez une référence sur quelque chose qui s'en rapproche je suis preneur! Merci.