Optimisation de l'optimisation

[Ashijo]

Bonjours

Je suis nouveau sur ce forum que je suivais deja de loin en cherchant de l'aide pour mes cours, et me suis finalement inscrit pour pauser cette question a la comunaute.

Je suis etudiant et mon cours de math (calcule differentiel) comporte un chapitre sur l'optimisation.

Voicie un exemple d'exercice classique (rassurez vous c'est un exemple simpliste par rapport a mes examens :mur: ):
Un homme dispose de 100m de cloture pour delimiter un terrain rectangulaire. Determinez les dimention du terrainpour que son aire soit maximal.

La reponce attendue (version accelere) est de calculer y en fonction de x: A=xy sachant que 2x+2y=100
y=(100-2x)/2
A(x)=50x-x^2
DomA=[0;50]

Puis test de la derive premiere, derive seconde, vous connaissez surment la chanson.
Bref resulat: un carre de 25 par 25

Et la j'ai interpelle mon prof en disant que tout ce calcul etait inutil car le produit optimal d'une multiplication dont la somme des facteur est definit, est toujours egale au produit de la somme des facteur divise par le nombre de facteur recherche pour chaque facteur que l'on multiplie..

Je m'explique imaginons que j'ai 10 point a repartir entre deux entier que je dois multiplier afin d'obtenir le produit max, par exemple 1x9 ou 8x2 ou7x3 ou 6x4... ect la meilleur multiplication sera 5x5=25
Si j'ai 258 points 129x129 sera le meilleur et cela marche aussi en 3D, et la mon prof ma repondu que non se n'etait pas certain, pourtant je ne trouve pas de contre exemple.

Pour en revenir a mon exercice il sufisait de diviser 100 par 4 pour optenir la bonne reponce car le terrain ne pouvait qu'etre un carre.

Alors je ne sais pas s'il ne veux tout simplement pas que j'utilise ce procede pour me forcer a prouver que j'ai bien suivit son cour, si c'est juste qu'il n'y a pas encore de demonstration ou si (en toute arrogance) je viens de decouvrire une propriete mathematique qui rend l'optimisation par le calcule differenciel obsolete :zen:

Bref quand dites-vous?

[Sylviel]

Le problème est le suivant :
- si on donne un exercice très simple on peut trouver la solution directement
- si on donne un exercice trop compliqué les élèves se perdent dans les calculs et ne voient plus où on en veut venir.

Ta méthode à deux défauts :
- tu ne parle que des entiers
- je ne vois pas de preuve du résultat que tu avance

En passant par le calcul différentiel :
- tu peux écrire une preuve d'optimalité
- tu fais les premiers pas vers des résultats plus généraux attaquant des problèmes plus compliqués.

Exemple :
trouve le minimum de : x²+y²+z²+2xy+3yz+4xz - 3x - 2y -5z
sans passer par un minimum de calcul différentiel tu seras bien embêté. Avec du calcul diff tu te ramène à un bête système linéaire à 3 inconnues. :zen:

[Ashijo]

1/
Je m'en rend bien compte, la petite histoire du debut n'etait qu'une mise en situation ce qui m'etonne c'est la reaction de mon prof, ce rapport entre le nombre de facteur leur somme et le produit optimal me semble evident, le constat est la alors je ne comprend pas que ce ne soit pas une regle deja existante.

2/
Je pourrais tres bien ajouter des decimales (pour reprendre l'exemple le plus simple si je remplace 10 par 11 j'obtiens un facteur optimal de 5.5 qui donne un produit de 30.25) (oui, j'avous j'avais un trou de memoire par rapport au mot facteur), je suis en train de tester ca sur des problemes de plus en plus complexe pour voir jusqu'ou ca peu aller et dans quels cas je peux l'utiliser.

-J'essaie de trouver la formule derriere tout ca car pour l'instant je n'ai effectivement aucune preuve c'est un simple constat.

Je suis certain qu'il y a un rapport entre le nombre de facteur la somme des facteurs et le produit optimal, mais cela ne serait, a priori, utilisable que pour de simple calculs d'aire et de volume.

Quelque part ca n'a rien a voir avec mes cours, je suis juste curieux.

Ce que je voulais vraiment savoir c'est si effectivement il n'existait pas deja une formule mettant en relation ces trois paramettres.

[Ashijo]

Ca devrait ressembler a ca:

Le facteur optimal d'une multiplication dont la somme des facteurs est definie est egal a la somme des facteurs divise par le nombre de facteur voulu.
Pour obtenir le produit optimal il faut ajoute le nombre de facteur en exposant au resultat.

Somme des facteurs: SigmaF
Nombre de facteur: nF

(SigmaF/nF)^nF

[Sylviel]

Oui, tu peux montrer un résultat du genre de ce que tu annonces. Encore faut-il l'énoncer précisément puis le démontrer.

[Robot]

En passant sur les maladresses d'expression, le résultat est vrai et bien connu. C'est très bien de l'avoir identifié, mais tu n'en donnes aucune démonstration. Or les mathématiques, c'est une affaire de démonstration.
La démonstration le plus commode de ce fait consiste à utiliser la concavité de la fonction logarithme. Je peux détailler, mais il faudrait déjà que cette propriété de la fonction logarithme te dise quelque chose.

[Ashijo]

Je suis en train de corriger au fur et a mesure ^^ faut que je reapprenne le francais aussi visiblement XD
Oui je connais les fonction logarithme enfin je sais les deriver, je connais leur forme et j'ai vu le micmath dessu, je me disais bien que c'etait trop facile, m'enfin j'ai passe ma scolarite a apprendre des formules brut sans veritable explications alors le cote demonstratif des maths ^^

Je veux bien m. Robot, ou si vous avez un lien je m'en contenterais, je ne voudrais pas vous faire perdre de temps :3

[Robot]

m'enfin j'ai passe ma scolarite a apprendre des formules brut sans veritable explications alors le cote demonstratif des maths ^^

Tu n'as donc pas vraiment vu de mathématiques jusqu'ici. Ca viendra peut-être.

Ma réponse utilise des propriétés de la convexité (concavité) des fonctions que tu n'as peut-être pas encore rencontrées. (PS : tu peux avoir des renseignements sur wikipedia ).
La fonction logarithme est concave sur car sa dérivée seconde est négative. La concavité entraîne le fait suivant (c'est pratiquement la définition de la concavité) :
Soit des réels strictement positifs, et soit Alors , autrement dit .

[Ashijo]

Je me doutais qu'il y avait une fonction derriere tout ca, mais je n'avais pas songe au log, ce qui aurait du etre evident vu qu'ils font le lien entre addition et multiplication.
Cependant je suis etonne de ne pas vous voire utiliser ;), est-ce pour ne pas me perdre ou y a t-il une autre raison? (je suis passer par un lycee pro avant ma prepa, j'ai donc des notions d'economies qui sont friandes de ce genre de calculs)
Car ce que je comprend c'est que vous faite une moyenne de l'ensemble des valeurs de a pour determiner c donc log(c) est superieur ou egal a la moyenne des log(a) donc c^n superieur ou egal au produit des a.
Ok je suis, mais que represente a? Mes facteurs? Et c c'est bien ce que j'appelais le facteur optimal, et c^n mon produit optimal?

Autre question comment inserez vous les signes dans vos post? j'ai du copier-coller mon ;) depuis wiki.
Merci en tout cas :)

[Robot]

Quelquefois les points de suspension sont plus lisibles que les ou les .
Pour écrire des maths, il est commode d'utiliser les codage . Tu peux voir comment c'est fichu en appuyant sur le bouton "Répondre" d'un message.