Kaplas Harmoniques

[Rouvire]

Bonjour,

Je joue aux kaplas avec mon petit neveu. (les kaplas sont des petites planchettes de bois toutes identiques)
Je construit un escalier en les superposant les uns sur les autres.
Le premier est posé à plat sur la table
Le deuxième est posé à plat sur le premier en le décalant d'1/2 (ça me fait une première marche d'une largeur d'1/2 kapla)
Le troisième est posé sur le deuxième en le décalant d'1/3 (ça fait une deuxième marche d'une largeur d'1/3 kapla)
Le quatrième est posé sur le troisième en le décalant d'1/4 (troisième marche d'1/4 kapla)
Et ainsi de suite (c'est la série harmonique: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n. La somme des termes de cette série tend vers l'infini quand n tend vers l'infini)

Combien de kaplas pourrai-je empiler avant que l'escalier ne s'écroule?

(j'espère être dans la bonne section pour ce problème)

[mathafou]

Le premier est posé à plat sur la table
Le deuxième est posé à plat sur le premier en le décalant d'1/2 (ça me fait une première marche d'une largeur d'1/2 kapla)
Le troisième est posé sur le deuxième en le décalant d'1/3 (ça fait une deuxième marche d'une largeur d'1/3 kapla)...

Bonjour

tu as essayé de retraduire à ta façon erronée un problème classique.

avec ton empilement tu ne vas pas aller loin du tout :
le 3ème kapla va déja faire tout s'écrouler

l'ensemble des deux kapla du dessus a son centre de gravité en G12, au dela du coin du 1er kapla
cet ensemble de deux kaplas du dessus se casse donc la figure.

[Rouvire]

Bonjour,

Oui, à chaque fois qu'on rajoute un kapla le centre de gravité de l'ensemble se déplace vers le bord du polygone de sustentation (le kapla du bas) et à un moment il dépasse ce bord et ça se casse la figure.

Est-ce-que tu penses que le centre de gravité se déplace aussi selon une suite harmonique?

Quand on pose le 2ème kapla le centre de gravité se déplacerait d'1/4 (le G1 de ta figure me semble mal placé)

Si on suppose que le 3ème kapla déplace le centre de gravité d'1/5 (ce dont je ne suis absolument pas sûr), on a 1/4 + 1/5 = 9/20 qui est inférieur à 1/2 et ça devrait encore tenir

Remarque. J'ai l'impression d'avoir vu sur YouTube une vidéo (je pense sans trucage), où en empilant des briques (4 ou 5) selon cette méthode ils arrivaient à ce qu'il y en ait une qui soit complètement décalée par rapport à celle du bas

[Skullkid]

Note que le premier kapla sert uniquement à situer le point de pivot, c'est-à-dire qu'on aurait pu simplement le remplacer par un coin de table. Ce qui compte pour savoir si l'escalier s'écroule c'est le centre de gravité des kaplas suivants (à partir du deuxième), comme sur la figure de mathafou (G1 est le centre de gravité du deuxième kapla, G12 celui du sytème formé par les kaplas 2 et 3).

L'abscisse du centre de gravité n'évolue pas "harmoniquement", elle suit une évolution un peu plus compliquée. On peut le sentir intuitivement puisque si on fait la somme des abscisses des centres des kaplas ca va donner quelque chose du genre 1/2 + (1/2 + 1/3) + (1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5) + ...

Il y a en effet des problèmes classiques du même genre où on arrive à des solutions plus compliquées (parfois l'escalier ne s'écroule jamais) mais soit la méthode d'empilement est différente, soit les kaplas sont collés entre eux.

[mathafou]

c'est très précisément ce que j'ai dit : tu as réinterprèté de travers le problème classique (celui montré dans la vidéo)

toi tu les décales à l'envers

et c'est comme j'ai dit avec ta méthode fausse, au 3ème ça se casse déja la figure

mon G1 est le centre de gravité du seul kapla du milieu
G2 celui du seul kapla du haut
et le centre de gravité de cet ensemble de deux kaplas considéré comme un bloc est en G12 : au milieu de G1-G2
et ce point là il tombe en dehors du support de ce bloc de deux kaplas, qui est la face supérieure du kapla du dessous : ça tombe.
irréfutable et tu peux même faire l'expérience.

la bonne méthode consiste à les décaler de moins en moins (en 1/n) mais en partant du sommet de la pile
pas du bas !!!

G'1 est le centre de gravité de l'ensemble des deux kaplas du haut
G'2 celui de l'ensemble formé des 3 kaplas du haut
G'3 " " des 4 kaplas du haut

et le centre de gravité de chaque bloc est "juste à la limite" de son support qui est la face supérieure du kapla sur lequel il repose.
en pratique cet équilibre est "juste à la limite" de sorte qu'il vaut mieux prendre un peu de marge, mais le principe est bien celui là ; on peut en empiler autant qu'on veut (en théorie) et le "porte à faux" peut être aussi grand qu'on veut.
(démonstration par récurrence et par la divergence de la série harmonique)

sur ma figure il suffit d'empiler 4 kaplas sur le premier pour déborder déja de la longueur complète d'un kapla :
1/2 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 25/24 > 1

En pratique (en les décalant un peu moins) on peut réellement en en empilant environ une demi douzaine seulement obtenir un débordement d'un kapla entier
mais il faut faire la construction dans le bon sens, pas comme tu le faisais !!


Nota : cet empilement de kaplas n'est pas le plus efficace pour obtenir un débordement donné.
une méthode dans laquelle des kaplas servent de contrepoids est meilleure, bien que moins "intrigante".

[Rouvire]

Merci beaucoup,

Effectivement j'aurais dû voir que si on considère déja que dans ma méthode le 2ème kapla est sur le bord d'une table avec la moitié dans le vide, dès qu'on en ajoute un au dessus un tant soit peu décalé ça bascule

[nuage]

J'ai réussi, il y a quelques années, à faire des empilements de kaplas avec un surplomb nettement plus grand que 1.
Ça émerveillait mes enfants.
Mais la réalisation est assez délicate. Du moins pour moi, qui suit assez maladroit.