Solution fermée pour une série avec termes "harmoniques"

[kvist]

Bonjour,

Je suis étudiant au doc en data science avec un bagage en maths probablement de l'ordre d'une prépa, avec des domaines dans lesquels j'ai peut-être un peu plus poussé (e.g. les probas / stats), mais d'autres moins (e.g. les equas diffs, la géométrie...) Bref je n'ai pas toujours les bons éléments pour attaquer certains problèmes que je rencontre dans ma recherche.

Le dernier couac sur lequel je me heurte est le suivant, où je m'intéresse à cette somme S, *avec 0<a<b<1* :

(image de l'équation ici: https://pasteboard.co/VHtaykyK7QYm.png)

Je ne sais vraiment pas trop par quel bout prendre cette somme ; voici ce que j'ai essayé :
- j'ai trouvé des bornes sup et inf pour cette expression, mais ces bornes étant assez laxes elles ne me permettent pas de résoudre l'équation (mais la borne sup confirme que la série converge) ;
- mes tentatives pour "téléscoper" la série sont restées jusqu'ici infructueuses car malgré des identités utiles pour le coefficient binomial, je me heurte à des difficultés pour exprimer le terme "harmonique" avec une relation de récurrence ;
- j'ai utilisé le package Sigma de Mathematica, qui semble pouvoir parfois faire des "miracles" pour certaines séries téléscopiques, mais cela n'a rien donné avec mes essais.

Globalement, la litérature que j'ai pu parcourir sur des identités de ce type semble écrite par des mathématiciens soit assez spécialisés, soit dont le niveau me dépasse complètement, voire les deux, donc je ne pense pas nécessairement être correctement équipé pour attaquer ce genre de problème. L'idéal serait que l'on puisse m'indiquer des papiers ou types d'identités prometteuses pour pouvoir avancer. À moins que le résultat ne soit déjà connu, auquel cas une référence serait appréciée.

Merci !

[Ben314]

Salut,
- C'est quoi les et qui apparaissent dans ta formule (des entiers, des réels, des complexes, autre chose ?)
- Certes, cette somme "t'intéresse", mais qu'est-ce que tu voudrais montrer précisément ?

[kvist]

Bonjour Ben314, je viens d'éditer la question pour préciser ce que sont a et b, en effet c'est important (voire structurant pour les résultats) et mon copier/coller était incomplet !
Concernant ta seconde question, je cherche à pouvoir "calculer" la somme S autrement que numériquement pour plusieurs raisons :
1. une forme fermée me permettrait éventuellement d'interpréter la valeur de cette somme en fonction des paramètres a et b (en d'autres termes, si la forme fermée est exploitable, je pourrai regarder les variations en fonction des paramètres afin de voir si on peut dire des choses dessus...)
2. je cherche à pouvoir comparer S1(a1,b1) avec S2(a2,b2), où {a1,b1} et {a2,b2} sont par exemple deux couples de paramètres différents pour lesquels on se demande si cette somme est plus grande dans le premier cas ou le second. La valeur de cette somme ayant une interprétation qualitative, cela permet par exemple de déterminer si un certain set de paramètres donne un "meilleur" résultat.

[Ben314]

Je ne suis pas sûr qu'il y ait une forme bien plus simple (mais peut-être le fourvoie-je . . . )
Je me disait qu'on pouvait tenter un truc du style sauf que, pour que ça ait du sens, le qu'on factorise doit être le plus grand des deux termes alors que là, ce n'est pas toujours le même le plus grand.

[kvist]

Merci ! Je ne sais pas si ce que je raconte va pouvoir aider, mais j'ai l'impression que même si effectivement il y a d'abord des U(a,n,k)>V(b,n,k) et ensuite des U(a,n,k)<V(b,n,k), ce changement a lieu pour un (et un seul) seuil k* donné ou je me trompe ? Ainsi, en séparant la somme sur k en deux sommes et , la condition de convergence serait respectée pour chacune je crois ? Même si j'avoue ne pas encore bien voir là où ce développement mènerait...

[kvist]

Pour continuer sur ma réponse précédente, et afin d'utiliser l'idée de Ben314, avec comme hypothèse 0<a<b<1, on peut trouver que pour que U>V on doit avoir , ce qui est bien le cas à partir d'un certain k* que l'on peut calculer en passant au log, ce qui donne (sauf erreur) :


On peut ensuite séparer la somme ainsi :


À partir de là, ce n'est pas très clair pour moi comment on peut avancer. En notant k'=min(k*,n-k*) et k''=max(k*,n-k*), il y a bien sûr une symmétrie des coefficients binomiaux que l'on peut exploiter de part et d'autre des k pour factoriser les deux sommes sur la partie des k<=k', mais, premièrement, cette factorisation ne m'inspire pas plus que ça (même en inversant l'ordre des sommes sur k et sur l pour factoriser le , je ne vois pas bien où aller ensuite), et, deuxièmement, il restera quoiqu'il arrive le terme des k compris entre k'+1 et k'' dans la portion seule (qui, elle, ne contiendra qu'une seule des deux sommes, celle avec U je pense).