Formule pour densité de plantation

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
sylveno
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formule pour densité de plantation

par sylveno » 12 Sep 2018, 16:15

Bonjour à tous,
je trouve de nombreuses sources en ligne pour calculer les densités de plantation.
Malheureusement nul part une formule en fonction du diamètre des plantes.

Par exemple :
sur une surface de 10 m × 10 m,
je vais mettre des plantes qui font 1 m de diamètre,
je veux un espace de passage de 1 m entre chaque plant.
Combien de plants si je plante en alignement carré, et combien en quinconce ?

bien sûr, le calcul de mon exemple est facile à faire.
pour 10x10 si j'ai des plants de 1 m de diamètre et si je veux un passage de 1 m entre chacun, j'ai 25 plants,
si je veux un passage de 2 m j'ai 16 plants, etc.

Ce que je cherche c'est une formule dans laquelle on change un paramètre ou plusieurs pour avoir le résultat du nombre de plants.
j'ai pensé à
(longueur / (diamètre + distance / 2)) x (largeur / (diamètre + distance / 2))
mais ça tombe pas juste

Merci à tous de vos réponses



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Ben314
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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 12 Sep 2018, 16:59

Salut,
Si c'est le diamètre d'un plan et l'écart que tu veut qu'il y ait entre deux plan alors :
- Une "rangée" de 1 plan demande une longueur de .
- Une rangée de 2 plans demande une longueur de .
- Une rangée de 3 plans demande une longueur de .
. . .
- Une rangée de plans demande une longueur de .
Donc si tu dispose d'une longueur , pour pouvoir y planter une rangée de plans, il faut que , c'est à dire que .
Et le plus grand entier ayant cette propriété, c'est la partie entière de qu'on note .
Idem dans le sens de la largeur qui, si elle vaut permet de planter au max plants ce qui fait un total de plants (avec une répartition "en carré").

On peut te trouver de même le nombre max que tu en mettra "en quinconce" : le calcul est un peu plus compliqué et risque de contenir deux cas de figure (selon que toutes les rangées ont le même nombre de plant ou que c'est un truc style 5 / 4 / 5 / 4 ....) mais c'est pas la mer à boire.
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sylveno
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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 13 Sep 2018, 10:29

Merci pour la réponse rapide,
j'ai essayer de placer cette formule dans un tableur odt, ça donne 144 ! :pleur4:
je pense que j'ai pas compris un truc quelque part ::d
j'ai fait une copie d'écran avec la formule développée en dessous du premier tableau

http://image.noelshack.com/fichiers/2018/37/4/1536826909-20.png

Image

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Ben314
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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 13 Sep 2018, 12:30

Pour interpréter une formule mathématique avec + , - , * , / , un tableur (ou tout autre appareil électronique ou tout mathématicien) utilise ce qu'on appelle "les règles de priorité des opérateurs" :
(1) Les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions :
3x7-7 signifie (3x7)-5 et pas 3x(7-5)
3+5/7 signifie 3+(5/7) et pas (3+5)/7
(2) Les opérations de même priorité sont effectuées de gauche à droite :
10 - 5 + 3 signifie (10 - 5) + 3 et pas 10 - (5 + 3)
10/5*3 signifie (10/5)*3 et pas 10/(5*3)

Bref, ta case avec $L$1 + B$8/$D$1 + B$8 elle signifie $L$1 + (B$8/$D$1) + B$8 alors que la formule que je t'ai donné, c'est ($L$1+B$8) / ($D$1+B$8 ).
De plus, il te manque les parties entières. Avec LibreOffice, une des fonction donnant la partie entière est ENT() donc le contenu de ta case, ça doit être :
ENT( ($L$1+B$8) / ($D$1+B$8 ) ) * ENT( ($L$2+A$7) / ($D$1+A$7 ) )
(modulo que les cases L1, B8, etc contiennent bien les bonnes valeurs)
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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 13 Sep 2018, 20:08

oui, bien sûr, les priorités, ça remonte à bien loin tout ça :oops:
sinon c'est super ça marche bien !

http://image.noelshack.com/fichiers/2018/37/4/1536861674-20.png
Image

pour les quinconces :
pourquoi j'ai un affichage d'erreur dans J6 ?
est-ce que ma formule est bonne pour le calcule de distance entre rang (hauteur du triangle) ? ça me semble bien compliqué comme formule, j'ai trouvé ça sur un blog d'assistance scolaire.
la formule est en dessous du tableau

Passez une très bonne soirée

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Ben314
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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 13 Sep 2018, 22:12

Concernant l'erreur, je sais pas trop et sans avoir accès au fichier (ce qui permet de tester la formule "petit bout par petit bout"), c'est plus que très chiant de repérer où est l'erreur.

Par contre, juste en la regardant "en diagonale", je comprend pas bien ce qu'elle est sensée calculer la formule en question vu que je vois pas trop quelle utilité pourrait avoir une racine d'un gros truc dans le contexte présent.
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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 13 Sep 2018, 23:59

Image
Avec un écart (comme sur le dessin) de entre des plants de diamètre , si je me suis pas gourré, le nombre de plants qu'on peut mettre en quinconce (carrée) dans un rectangle de , c'est :
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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 14 Sep 2018, 08:35

la formule absurde est sensée donner la hauteur d'un triangle qu'il soit isocèle ou rectangle.
Pour placer sur le terrain, cela donne la distance entre les lignes . C'est plus simple que de mesurer la diagonale.

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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 14 Sep 2018, 22:15

Désolé, je ne comprends pas la formule à la fin de ton message. J'espère que mon ignorance ne t'agace pas :|

Cette formule bizarre avec √d'un gros truc pour calculer la hauteur du triangle formées par l'implantation en quinconce est-elle juste ou pas ?
C'est un paramètre important à connaitre pour mon problème car sur le terrain, il est facile de mesurer la distance entre deux rangs pour une implantation en quinconce mais bien plus difficile de mesurer une diagonale et de tomber juste.

Pour ce qui est de l'accès au fichier pour l'affichage d'erreur, tu aurais le temps et l'envie de voir si je te le transmet par exemple par mail ?

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Ben314
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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 14 Sep 2018, 23:01

Concernant la formule

La racine, elle ne "porte" que sur le 2 et lien d'autre.
Ecrite "en ligne" (donc plus où moins prête pour un tableur), ça donnerais ça :
Ent( 1/2 * ( Ent( 1 + racine(2)*(l-d)/(d+e) ) * Ent( 1 + racine(2)*(L-d)/(d+e) ) + 1 ) )

Je t'ai mis les deux formules dans un petit "google sheet" là :
https://docs.google.com/spreadsheets/d/ ... sp=sharing
Si tu veut que je regarde la tienne, met là dans une des cases de la même feuille.

Sinon, je sais pas pour quelle raisons tu t’intéresse à différentes dispositions, mais si tu veut mettre le plus de plans possible en respectant un écart minimum entre les plans, je pense que l'optimum serait plutôt une disposition triangulaire :
Image
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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 15 Sep 2018, 06:05

je m'intéresse comme je t'ai dit pour le jardinage.
J'ai cherché en ligne pour quelques mètres carrés et je n'ai trouvé que des tableaux ce que j'ai trouvé restrictif car évidemment toutes les configurations sont impossibles à prévoir.
Je me suis donc dit qu'un tableur où on pourrait changer les paramètres serait plus utiles.

Oui pour la dispo en triangle, ce'st ce que j'appelle en quinconce, c'est pour cela que connaitre la hauteur du triangle (=distance entre deux rang) serait utile si cela était donné dans le tableau.

J'ai mis le mien sur ta feuille.
Je me rends compte qu'il y a moins d'élément en quinconce qu'en carré, j'aurais pensé le contraire… la formule est probablemnt fausse (avec cette formule bizarre déjà évoquée), il y a d'ailleurs une erreur de résultat en J6 J7 et L6. Ça correspond à un espacement inférieur au diamètre des plantes (si on veut que les branches s'interpénètrent pour un massif plus dense.)

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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 15 Sep 2018, 15:39

Concernant la dispo. en quinconce, j'était allé regardé sur le net. et les sites sur lesquels je suis tombé donnaient la dispo. du dessin du post du 13/09 ; 21:59 : c'est un carré avec un cinquième élément situé à l'intérieur du carré et les les écarts entre les plans il sont là où ils sont marqués sur le dessin avec le centre du carré (et c'est tout). Par exemple le "triangle du bas" (du centre du carré aux deux d'en dessous), c'est un "demi carré" (avec un angle droit) et il est équilatéral mais pas isocèle (deux cotés égaux, seulement)
Alors que sur la dispo. en triangle (voir post du 14/09 ; 21:01), les écarts ils sont partout où il y a des segments en pointillé donc le triangle du bas est équilatéral, mais par contre, si on prend les 4 plans qui correspondaient au carré dans la dispo. en quinconce, là, c'est pas un carré, mais un rectangle.

Enfin, bref, on s'en fout un peu du nom que les dispo. portent (donc si tu veut, on peut appeler "en quinconce" celle que j'appelle "en triangle"), mais par contre, c'est pas les deux mêmes et effectivement, c'est avec celle "en triangle" que tu mettra le plus de plants (en tout cas si le rectangle de départ est un peu grand pour qu'il n'y a pas trop d'effet "de bord").

Après calculs et sauf erreur, pour une disposition en triangle, le nombre de plants c'est :

Attention au fait que la dispo. n'est plus symétrique par rapport à la diagonale donc que et ne jouent plus le même rôle.
Je te rajoute la formule dans la (même) feuille du tableur.

EDIT : en regardant ce que tu as rajouté dans la feuille, visiblement, tu manipule deux "écarts entre plants" et donc à priori, ni une "vrai" dispo. en quinconce, ni une "vrai" dispo en triangles.
On peut évidement inventer d'autres dispositions, et je peut te trouver les formules correspondantes, mais il faudrait que ce soit parfaitement clair de savoir ce que représentent les longueur et (i.e. où elles se mesurent sur un dessin)
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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 16 Sep 2018, 19:37

comme tu le dis, il serait bien d'avoir le même vocabulaire .
Voici une image représentant toutes les configurations avec mes propres mots.
N'hésite pas à me corriger avec des mots plus "techniques" si nécessaire.
Sur le spreadsheet j'ai mis la même image et j'ai complété le tableau.
Il est important d'avoir plusieurs entrées pour comparer les plantations composées.
Il reste à trouver la formule donnant la hauteur dans les configurations que j'appelle en triangles.

https://www.noelshack.com/2018-37-7-1537118915-00-densite-de-plantation-forum-018-0916.png

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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 17 Sep 2018, 14:33

La hauteur entre deux lignes (de centre de ligne à centre de ligne) sur tes cas 2 et 3, c'est (théorème de Pythagore).
Ensuite, si tu accepte des et différents, alors les cas que j'avais appelés "en quinconce" et "en triangle", rentrent tout les deux dans le moule : le cas "en triangle" est celui où et celui "en quinconce" correspond à .

Par contre, ton dessin 2 (triangle) qui commence par une ligne contenant (éventuellement) un élément de moins que celle au dessus n'a pas vraiment d'intérêt : tu as toujours à commencer par une première ligne la plus longue possible (donc toujours mettre un plan dans le coin bas/gauche du rectangle)

Je regarderais ce soir combien on rentre de plan avec une dispo. en E - e
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Re: formule pour densité de plantation

par sylveno » 17 Sep 2018, 21:35

le calcul de la hauteur traduit en formule ods c'est bien
"h=racine( ( (e+d) * (e+d) ) + ( ((E+d) /2) * ((E+d) /2) ) )" ?
sur wikipédia je trouve h = E × ((√3) / 2) c'est bien la même chose ?
En tout cas la formule semble donner un résultat cohérent pour les triangles équilatérales donc avec bien sûr E = e (en triangle).

Pour les isocèles donc avec E ≠ e (en quinconce), on a deux cas d'isocèle avec E < e (j'appelle ça triangle haut) et E > e (triangle plat)
La formule trouvé sur wikipédia est h=(1/2)*(√4*e²-E²
en formule ods c'est bien (1/2) * (racine ( ((4 * (e*e)) – (E*E))) ?
si oui ça semble marcher pour les triangles E < e mais pas avec E > e
pourquoi ?

J'ai modifié mon dessin pour nommer les figures.
- Rectangle : fig 1
- Triangle équilatéral : fig 2
- Triangle isocèle haut : fig 2h (E < e)
- Triangle isocèle plat : fig E > e)

Pour moi la première ligne est celle du haut j'avais mis un dessin où la première ligne était plus petite pour montrer un cas de figure inhabituel mais effectivement ça change rien j'ai donc modifié pour avoir une première ligne pleine.

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Re: formule pour densité de plantation

par Ben314 » 17 Sep 2018, 22:05

Avec ça comme configuration (en cliquant dessus, ça agrandit un peu et on voit mieux où sont et que j'ai bêtement mis en jaune trop clair) :
Image
Sur le dessin çi dessus, (où tu as forcément ), la hauteur c'est
(*) c'est à dire h=racine( (e+d)^2 - ( (E+d)/2)^2 )
(sauf erreur, tout les tableurs savent calculer des puissances et le symbole dédié, c'est ^)
Et la formule h = E × ((√3) / 2, c'est celle pour les triangle équilatéraux (i.e. ) et elle ne tient pas compte du diamètre .

Et, sauf erreur, pour une telle disposition, le nombre de plants c'est ça :
c'est à dire
N = ENT( 1/2 * ( Ent(1+2*(L-d)/(E+d)) * Ent(1+2*(l-d)/h) + 1 ) ) où h est à calculer avec la formule ci dessus.

(*) Et j'avais écrit une c.. dans le précédent post où j'avais mis un + et pas un -
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