Exercice Suite Numérique

[Zehear]

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Bonjour pouvez vous m'aider s'il vous plait
J'ai un petit probleme sur cet exercice question 2
Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour
Je ne fais pas l'exo mais as tu essayé une récurrence pour ta question 2?

[Zehear]

j'avais tout essayé

[aviateur]

Pourtant une récurrence me semble bien marcher.

Tu poses P(n) la proposition : v(n)=cos(a)cos(a/2)....cos(a/2^n) et u(n)=v(n) cos(a/ 2^n)
(on retiendra que ts les angles sont aigus i.e les cos sont >0)
Je te laisse vérifier que P(2) est vraie.
Supposons que P(n) soit vraie.
Alors u(n+1)=1/2*(u(n)+v(n))=1/2 v(n) (1+cos(a/ 2^n))
On a alors v(n+1)=\sqrt(v(n)^2 * (1+cos(a/ 2^n))/2=v(n) sqrt( (1+cos(a/ 2^n))/2)=
v(n) cos(a/2 ^(n+1))
Ce qui montre déjà une partie de P(n+1) et on utilise cela dans u(n+1) pour finir la récurrence.