Exercice en analyse numérique (méthode de Jacobi)

[hasnaemath]

Bonjour tout le monde,
J’espère que vous allez très bien, en fait j'ai un exercice très très difficile en analyse numérique que je n’arrive pas à résoudre, prière de m'aider.
Voici l'énoncé de l'exercice :




Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour

Je comprends mieux maintenant: En fait il s'agit de la méthode de Jacobi du calcul des valeurs propres.
En général quand on parle de la méthode de Jacobi on pense à celle pour résoudre un système.

je corrige et donne la démo dans le message suivant

[hasnaemath]

A aviateur,
Merci d'abord pour votre réponse

[aviateur]

solution de la question 1. Sans restreindre la généralité et pour simplifier l'écriture on peut supposer que r=1 et par ailleurs que (En effet cela revient à retirer et cela ne fait que translater le spectre.
les disques de Gershogorin sont les disques de rayon (inf ou egaux) et de centre

Les hypothèses font que le premier disque est disjoint des autres: Notons D ce disque.
Considérons , et pour tout

Les valeurs propres de A(t) se déplacent continûment en fonction de t sur des chemins complexes et en particulier la valeurs propres issues le la valeur propre 0 de se déplace continûment tout en restant dans les disque de centre 0 et de rayon ainsi pour t=1 (donc pour la matrice A
il y a une seule valeur propre dans le disque D.
Mais ce n'est pas suffisant il faut montrer que cette valeur propre est dans un rayon + petit

[aviateur]

question 1. deuxième partie
Considérons la matrice a>0 que l'on choisira après.
La matrice correspond à la matrice A dont les termes de la première lignes sont multipliées par a et ceux de la première colonne par 1/a; en particulier le coeff diagonal est inchangé.
ainsi la valeur propre qui est dans le disque et dans le disque
pourvu que ce disque ne rencontre pas les autres.
la bonne valeur de a est
En effet ce qui correspond à ce qu'il faut démontrer.
Il reste alors à vérifier que ce disque ne rencontre pas les autres disques de Gershogorin de la matrice C. Mais ça c'est facile à faire.

[hasnaemath]

Ok Merci beaucoup aviateur je vous en suis reconnaissant

[hasnaemath]

A aviateur, Svp je n'ai pas bien compris votre réponse;

pourquoi d'ailleurs a_{ii}=0 ?
et pourquoi les disques de Gershogorin sont les disques de rayon \left(n-1 \right)_{\varepsilon}

et pour la deuxième question comment peut on faire pour le résoudre mes amis, aidez moi Svp

[aviateur]

Bonjour
On peut se passer de cela. J'ai simplement fait une translation du spectre pour me ramener en zéro au cas ou cela m'aurait facilité le travail. Donc que que l'on soit en 0 où en cela ne change rien au raisonnement.
Quant à la méthode de Jacobi pour le calcul des valeurs propres, j'ai dû voir cela une fois dans ma vie et j'ai un vague souvenir que cela consiste à multiplier par des matrices de rotation. Alors sinon que de me replonger
dedans je ne peux pas répondre comme ça directement. Mais surement quelqu'un pourra répondre.

[hasnaemath]

de toute façon Merci beaucoup Aviateur pour votre aide