Salut
Arrêtes Rain' c'est très joli je connaissais pas ça !
ThSQ, je t'en donne 3 solutions différentes que j'ai trouvé sur le net, la deuxième je l'ai trouvé par hasard mais j'aime beaucoup ! on a fait la 1ère en cours ..
Soit
un sous-groupe d'ordre 6 de
.
est distingué
car d'indice 2. 3 divisant l'ordre de
,
contient un élément d'ordre
3,
, et c'est un 3--cycle. Il y a 8 3--cycle dans
,
conjugués entre eux et le centralisateur de
dans
a 3 éléments, à savoir les puissances de
. Tout ça pour voir
que
possède
conjugués dans
qui se
trouvent donc dans
. Il s'ensuit que
contient déjà 5 élements.
Reste dans
un autre élément
non conjugué à
, qui
ne peut être un 3--cycle (car sinon trop d'éléments dans
).
contient
donc un produit
(c\ d))
de deux transpositions à supports disjoints.
En prenant
\in\mathfrak{A}_4)
, on a
(b\ d))
et cet élément doit appartenir à
qui aurait alors au moins 7 éléments...
Et la plus jolie :
On suppose que
possède un sous-groupe
d'ordre 6.
est d'indice 2 dans
, donc
est un sous-groupe distingué de
. On a donc
. Par suite pour tout
, on a
.
Soit
un élément d'ordre impair
. Alors
d'où
^2\in G)
.
Le sous-groupe
contient donc tous les éléments d'ordre impair de
. Or il y en a 9 (8 3-cycles et l'élément neutre). Comme
, on a là une contradiction.
Celle avec Sylow :
Si
contenait un sous-groupe
d'ordre 6, celui-ci serait
soit cyclique d'ordre 6, mais
ne contient que des éléments d'ordre 2 ou 3
soit isomorphe à
. Etant d'indice 2, H serait distingué et comme
admet un sous-groupe caractéristique d'ordre 3 (c'est
). Ce dernier serait donc distingué dans
(caractéristique dans un distingué). Or les éléments d'ordre 3 de
forment les 3-Sylow, qui sont au nombre de 4 conjugués entre eux, donc ne peut être distingué dans
.
