Corde à noeuds (et confinement)

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Bonjour,

On a deux cordes A et B de longueur infinie. Elles sont graduées en mètres de zéro à l’infini.

A chaque graduation correspondant à un carré (graduations 0, 1, 4, 9, 16, …) on fait un noeud. Les noeuds sont numérotés 0, 1, 2 , 3, 4, … (par exemple le noeud numéro 4 est sur la 16ème graduation. Son numéro est la racine carrée de la graduation)

On place les deux cordes sur une route plane infinie. On les place parallèle l’une à l’autre et de façon que tous les noeuds se correspondent.

On tire en arrière la corde A de X mètres.

On s’aperçoit que (d’après les essais que j’ai fait ):

1) Si X est pair mais n’est pas un multiple de 4 (X a un seul 2 dans sa décomposition en facteurs premiers), alors plus aucun noeud des deux cordes ne se corresponde.

2) Si X est premier différent de 2, alors, au moins, le noeud de numéro (X-1)/2 de la corde B sera en correspondance avec un noeud de la corde A.

3) Dans les autres cas pour X, on trouve toujours au moins une correspondance, mais là je ne vois pas comment on peut déterminer à l’avance quel sera (ou seront) ce (ou ces) noeud(s).

Voila, est-ce-que ce petit problème correspond à quelque chose de plus théorique?

Merci

[LB2]

Bonsoir,

cela revient à déterminer quels sont les nombres différences de deux carrés.
Ta conjecture est juste! Pour la démonstration,

Je te renvoie à cette page très instructive de G. Villemin (comme l'ensemble de son site d'ailleurs)
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... fcarth.htm

[Rouvire]

Bonjour,
Merci à LB2 pour le lien et j’ai continué sur ce sujet.
Pour un nombre Nb on le multiplie toujours par 4 et on détermine (par programme) ce que j’appelle le premier nombre de pas A (NbPasA0) à faire pour arriver à la première correspondance de nœuds entre les 2 cordes.
Par exemple pour Nb = 115 (compris entre 10^2 et 11^2). On a 115*4=460. On tire en arrière la corde A de 460.
Dans la suite des entiers naturels, le premier carré avant 460 est 21^2=441 (partie entière de racine de 460 élevée au carré).
Le premier nœud de la corde A qui se trouve avant le zéro (on l’appelle A0) est à 441 – 460 = -19 et son pas (PasA0) est (21+21+1) = 43.
A partir de A0 = -19 et de PasA0= 43, il faut faire -19+43+45+47+49+51+53+55 (soit 7 additions ou pas) pour obtenir 324 (18^2) où deux nœuds (corde A et corde B) sont en correspondance. Ce sera la première correspondance qu’on trouvera.
Donc pour 115 on a NbPasA0 = 7.

On fabrique un triangle de tous les NbPasA0 des nombres naturels.

. . . . . . . . . . 0
. . . . . . . . . 0 1 1
. . . . . . . . 0 2 1 3 1
. . . . . . . 0 1 6 1 7 2 1
. . . . . . 0 10 1 12 1 1 4 15 1
. . . . . 0 5 2 1 20 1 21 1 3 8 1
. . . . 0 26 9 4 1 30 1 31 2 1 12 35 1
. . . 0 1 6 3 40 1 2 1 7 16 45 1 47 18 1
. . 0 2 1 52 5 10 1 56 1 57 22 3 6 1 2 63 1
. 0 25 66 1 4 27 14 1 72 1 1 8 15 30 5 1 79 2 1
0 82 3 84 1 2 35 88 1 90 1 19 1 93 4 7 12 1 40 3 1

Les nombres sont repérés par leur coordonnées X et Y dans le triangle.
Exemple pour 100: X=10 et Y=-10. Pour 115: X=10 et Y=3.

Dans ce triangle on repère des particularités sur les colonnes et les diagonales qui permettent parfois de déterminer un des NbPasA d’un nombre en fonction de ses coordonnée X et Y.

Ex: 913: X=30 et Y-17: Delta=4-12X-36Y=256=16²: donne n=(16-4)/6=2: donne base=-4n²-8n-2=-34
Sur la diagonale on a un pas de 4 et donc NbPasA = (17*4)-34 = 34

On est sur une diagonale X+3 et Y-1 et donc on sait que pour X=33 et Y=-18 (1104 et même delta) on aura un des NbPasA à 34+4=38 et ainsi de suite pour 33+3 et -18-1.
(c’est compliqué, c’est en regardant le triangle dans une feuille de calcul d’un tableur qu’on peut voir que sur certaines diagonales de type X+3 et Y-1 on a ces "formules")

Il y a d’autres diagonales intéressantes (j’en ai trouvé 5).

Remarque: pour un nombre PQ, plus Q-P sera petit plus NbPasA0 sera petit.

Voila, est-ce-que ce triangle a déjà été étudié?

Merci