1) Savez vous ce que ça veut dire travailler dans ZFC ?
ça signifie faire des mathématiques qui sont fonder sur la théorie des ensembles
suivant les axiomes de ZFC.
Donc si vous décider de ne pas travailler dans ZFC (vous avez le droit, il y a plein de gens qui le font)
alors il faut dire explicitement dans quels système d'axiome vous travaillez.
Et dans ce système d'axiome, définir ce que sont les entiers, les réels, etc.
parce que quand vous parlez des réels, par exemple, si vous ne travaillez pas dans ZFC,
vous ne pouvez pas utiliser la définition des réels qui sont définit à partir des axiomes de ZFC,
il faut donc que dans votre système d'axiome à vous, vous définissiez ce qu'est un réels.
(les réels c'est un exemples, mais en fait il faut que vous définissiez dans votre système d'axiome
ce qu'est un entiers, un ensemble, un réels, un intervalle, etc et toutes les notions dont vous aurez besoins en fait).
2) Les circonstances dans lesquels vous avez eu votre M2 doivent vraiment être exceptionnelles,
car la plupart des choses que vous avez écrites n'a aucun sens, vous associez ensemble dans
une même phrase ou une même formule des notions ou des symboles mathématiques qui mis ensemble ne
veulent rien dire, ce qui montre une grande incompréhension des concepts mathématiques mentionnés.
Et nulle part vous expliquez vos notations
3) Vous mentionnez Michel Coste, mais vous ne faites pas de référence précise sur un article en particulier
où il mentionne ce dont vous voulez parlez. Et je doute fortement que vous ayez compris grand
chose aux travaux de Michel Coste.
Voilà pour les remarques sur les quelques pages que j'ai lu.
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Ensuite, sans parler des réels pour l'instant, restons juste sur les entiers.
Est-ce que pour vous, il y a plus d'entier que de nombre pair ??
Intuitivement comme les entiers contiennent les nombres pairs plus les nombres impairs on pourrait dire oui.
Et pourtant, il y en a "autant".
[U]Question philosophique 1[/U] :
Si les ensembles sont finis, c'est facile, mais s'ils sont infinis ??
Question philosophique 2 a) :
Comment comparer "deux infinis" ??
Si je prend l'ensemble des entiers auquel j'enlève l'élément 0, j'obtiens l'ensemble des entiers strictement positifs.
Question philosophique 2 b) :
Est-ce que cela a un sens de dire que l'ensemble des entiers a un élément de plus que l'ensemble des entiers strictement positif ??
A la question 1) les mathématiciens ont répondu : Il existe une bijection entre les deux ensembles.
Ce qui est parfaitement intuitif, car une bijection ça consiste en quoi ?
Ça consiste à faire correspondre un à un les éléments des deux ensembles.
Par exemple si autour d'une table il y a des chaises, et sur la table des assiettes sont mises ;
alors en faisant correspondre une chaise à chaque assiette
je sais si il y a autant de chaises que d'assiettes, sans avoir à compter les chaises ou les assiettes.
Et ce concept de bijection, se généralise très bien pour des ensembles infinis :
Imaginons une table de longueur infini. sur cette table sont alignées une infinité d'assiettes,
et en face de chaque assiette il y a une chaise ;
alors il est tout à fait intuitif et raisonnable de penser qu'il y ait autant de chaise que d'assiette.
Si maintenant je numérote les assiettes 0, 1, 2, etc (i.e. à chaque assiette je fais correspondre un nombre entier)
Ensuite :
-sur la chaise en face de l'assiette 0 je note 0
-sur la chaise en face de l'assiette 1 je note 2
-sur la chaise en face de l'assiette 2 je note 4
...
-sur la chaise en face de l'assiette k je note 2k
...
Alors à chaque chaise, on fait correspondre un nombre pair.
Comme il y a autant de chaise que d'assiette, il y a autant de nombre pair que d'entiers naturels.
Pourtant l'ensemble des nombres entiers, en "plus" des nombres pairs contient les nombres impair.
Donc déjà sur les entiers, on voit déjà apparaître ce genre de "paradoxe" (si on peut appeler cela ainsi).
As-tu déjà entendu parler de l'hotel de Hilbert ? c'est un hotel avec une infinité de chambre et qui est toujours complet.
Pourtant quelque soit le nombre de voyageurs (même infini) qui arrivent, on
trouve toujours à les loger sans avoir besoin de construire de nouvelles chambres.
Et si on n'a pas besoin de construire de nouvelles chambres, c'est qu'on n'augmente pas la "quantité" de voyageurs.
Maintenant passons au réels.
Combien y a t-il de nombre réels ? réponse : une infinité !
ah ça tombe bien, les nombres entiers aussi sont une infinité, avec un peu de chance il y en a autant. Et pourtant ....
Pour reprendre l'image des chaises et des assiettes, si sur chaque chaise j'inscris un nombre réels,
eh bien Cantor a montré que je pourrais toujours trouver un nombre réels qui n'est sur aucune des chaises.
Il existe de donc des infinis qui sont "plus grand" que d'autre.
Question mathématiques :
"l'infini" de l'intervalle [0,1] est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle [0,10] ?
Là encore intuitivement je comprend parfaitement qu'on puisse penser "oui".
Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beacoup plus de quantité de matière
dans un fil de 10cm que dans un fil de 1 cm.
Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de 10 cm (ou de 1 cm) est un nombre fini.
En effet, ils sont constituer d'un nombre fini d'atome.
On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre.
Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide, Pour que le fil corresponde exactement à la notion
mathématiques d'intervalle,
il faudrait rajouter plein plein d'atome pour combler ce vide et tous les relier entre eux,
et ce nombre d'atome que l'on doit rajouter, c'est une infinité.
Et ils se trouve que le nombre d'atome à rajouter pour le fil de 10cm et pour le fil de 1cm c'est la "même" infinité.
(car, il y a une bijection entre [0,1] et [0,10] et je n'ai pas besoins de l'axiome du choix pour la donner.
Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles)
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Bon je ne sais pas si tous cela t'a convaincu, mais l'intervalle [0,1] et [0,10] ont bien "autant" de
points l'un l'autre au sens qui a été définit par les mathématiciens.
Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui à des propriétés plus "intuitive"
sur la façon de "quantifié" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur".
En effet la longueur de l'intervalle [0,1] c'est 1 et la longueur de l'intervalle [0,10] c'est 10,
et 10 > 1.
En fait je crois que tu confond les notions de "cardinalité" et de "grandeur".
P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique.
Tu tend le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de 1cm,
ensuite tu l'étire jusqu'à atteindre une longueur de 10 cm,
quand tu es passé de 1 à 10 cm, tu n'a pas changer le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique
tu as seulement changer sa longueur.