Bonsoir à tous . s'il vous plait aidez moi pour cet exercice

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Akouavi
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Bonsoir à tous . s'il vous plait aidez moi pour cet exercice

par Akouavi » 27 Oct 2019, 17:55

f: E--->E, un endomorphisme , on suppose que f est nilpotente . c'est-à-dire qu'il existe un k € N *
tel que f exposant ( k) =O déterminer les vecteurs propres de f.



Rdvn
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Re: Bonsoir à tous . s'il vous plait aidez moi pour cet exer

par Rdvn » 28 Oct 2019, 17:58

Bonjour
On suppose E non réduit à {o}
Voici un plan de travail qui n'utilise que des propriétés élémentaires (on trouve sur internet d'autres démonstrations, mais elle utilisent davantage de pré requis)
1) On suppose que t est valeur propre de f, on démontre que t=0 (autrement dit 0 est la seule valeur propre possible).
2) On démontre que 0 est effectivement valeur propre, c'est à dire qu'il existe un vecteur x non nul tel que
f(x) = 0x =0, pour cela on procède par l'absurde : supposons que pour tout vecteur u non nul on ait f(u) non nul,
on arrivera à une contradiction avec l'hypothèse sur f.
3)Compte tenu de 1) et 2) quels sont les vecteurs propres de f ?
Bon courage

 

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