Arithmétique Z/nZ

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
ghazi
Messages: 1
Enregistré le: 31 Déc 2018, 16:07

arithmétique Z/nZ

par ghazi » 31 Déc 2018, 16:30

bonjour
j'ai deux séries de math que j'aimerais bien les corriger et je n'arrive pas
quelqu'un peut m'aider s'il vous plait
merci d'avance

Alice et Bob utilisent pour communiquer le syst`eme de chiffrement RSA. Alice publie sa cl´e
publique (n, e) = (22499, 11753). Bob lui transmet le message chiffr´e c = 3022.
1. Sachant qu’Alice a l’habitude d’utiliser des paires de nombres premiers jumeaux, c’est-`adire de la forme p et q = p + 2, pour g´en´erer n = pq, trouver p, q et ϕ(n).
2. Justifier que la clef publique 11753 est valide et d´eterminer la clef priv´ee d d’Alice.
3. D´eterminer c
d modulo p puis modulo q.
4. Pour tout entier x, calculer x(x+ 1)−(x+ 2)(x−1). En d´eduire que si x est impair, alors
x et x + 2 sont premiers entre eux et donner une identit´e de Bezout entre x et x + 2.
5. D´eduire des questions pr´ec´edentes, `a l’aide du th´eor`eme des restes chinois, le message
clair m que Bob a envoy´e `a Alice.



aviateur
Habitué(e)
Messages: 3833
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: arithmétique Z/nZ

par aviateur » 31 Déc 2018, 17:15

Bonjour
Dis ce que tu sais faire et où sont les problèmes.
Pour indication voici les réponses:
d=17; message=7252

Rouvire
Membre Naturel
Messages: 25
Enregistré le: 02 Fév 2014, 16:16

Re: arithmétique Z/nZ

par Rouvire » 11 Jan 2019, 13:28

Bonjour

Pour la question 1
n = 22499, se décompose en 2 facteurs premiers p et q, et ces 2 facteurs premiers sont très proches l'un de l'autre (nombres premiers jumeaux), ils sont donc proches de la racine carrée de n qui vaut 149,996...
on trouve donc facilement p=149 et q=151
Pour ϕ(n) l'indicatrice d'Euler.
comme p est premier on a ϕ(p) = p-1, de même ϕ(q) = q-1 et comme p et q sont premiers entre eux (puisque ce sont déjà 2 nombres premiers) on a ϕ(pq) = ϕ(p) ϕ(q) (la fonction ϕ est multiplicative)
soit ϕ(n) = 148 x 150= 22200

Pour la 2
Qu'est-ce-que ça veut dire que la clef publique 11753 est valide?

 

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