Modèle de Wright-Fisher et nombre de Stirling

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Esteban19
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Enregistré le: 11 Nov 2020, 20:18

Modèle de Wright-Fisher et nombre de Stirling

par Esteban19 » 11 Nov 2020, 20:22

Bonjour,

dans le modèle de Wright-Fisher appliqué à l'ADN mitochondrial (transmission uniquement par les filles), on s'intéresse au nombre de femmes ayant enfanté au moins une fille.

Il y a n filles et, à la génération du dessus n femmes, dont k seulement sont mères d'une fille au moins.

Le modèle fonctionne en mode « reverse » en supposant que chaque fille choisit l'une des n femmes comme mère selon un tirage avec remise, donc selon une loi multinômiale.

Pour que le nombre des mères d'une fille ou plus soit égal à k, il faut tout d'abord choisir n-k femmes sans enfants ou avec seulement des garçons, puis choisir l'une des surjections de l'ensemble des filles dans celui des k « mères »  (d'une fille ou plus).

Comme le nombre de surjections est égal à k !*S(n,k), où S(n,k) est le nombre de Stirling de seconde espèce, le nombre k suit donc une loi de probabilité P(k) avec P(k) proportionnel à :

M(n,k) = C(n,k)*k !*S(n,k)

où C(n,k) est bien sûr le nombre de combinaisons de k objets pris dans n (pour obtenir la probabilité, il suffirait de rapporter ce nombre au nombre total d'applications de l'ensemble des filles dans l'ensemble des femmes de la génération précédente, soit n à la puissance n.

Selon Wiki, le maximum de S(n,k) pour n élevé est atteint quand k est proche de n/Log(n) (cf Rennie et Dobson).

Mais que peut-on dire de M(n,k) ?

En d'autres termes, quel est le mode de la distribution P(k) ? Quelle est son espérance ?

PS : en partant du temps moyen TMRCA pour obtenir l’ancêtre commune, qui est selon Kingman approximativement égale à 2n générations et en supposant que la population des génitrices se rétrécit selon une progression géométrique, j’obtiens que le nombre « moyen » de femmes sans filles serait de l’ordre de Log(n)/2.

Merci de votre aide,

Esteban



 

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