Modèle de Wright-Fisher et nombre de Stirling

[Esteban19]

Bonjour,

dans le modèle de Wright-Fisher appliqué à l'ADN mitochondrial (transmission uniquement par les filles), on s'intéresse au nombre de femmes ayant enfanté au moins une fille.

Il y a n filles et, à la génération du dessus n femmes, dont k seulement sont mères d'une fille au moins.

Le modèle fonctionne en mode « reverse » en supposant que chaque fille choisit l'une des n femmes comme mère selon un tirage avec remise, donc selon une loi multinômiale.

Pour que le nombre des mères d'une fille ou plus soit égal à k, il faut tout d'abord choisir n-k femmes sans enfants ou avec seulement des garçons, puis choisir l'une des surjections de l'ensemble des filles dans celui des k « mères »  (d'une fille ou plus).

Comme le nombre de surjections est égal à k !*S(n,k), où S(n,k) est le nombre de Stirling de seconde espèce, le nombre k suit donc une loi de probabilité P(k) avec P(k) proportionnel à :

M(n,k) = C(n,k)*k !*S(n,k)

où C(n,k) est bien sûr le nombre de combinaisons de k objets pris dans n (pour obtenir la probabilité, il suffirait de rapporter ce nombre au nombre total d'applications de l'ensemble des filles dans l'ensemble des femmes de la génération précédente, soit n à la puissance n.

Selon Wiki, le maximum de S(n,k) pour n élevé est atteint quand k est proche de n/Log(n) (cf Rennie et Dobson).

Mais que peut-on dire de M(n,k) ?

En d'autres termes, quel est le mode de la distribution P(k) ? Quelle est son espérance ?

PS : en partant du temps moyen TMRCA pour obtenir l’ancêtre commune, qui est selon Kingman approximativement égale à 2n générations et en supposant que la population des génitrices se rétrécit selon une progression géométrique, j’obtiens que le nombre « moyen » de femmes sans filles serait de l’ordre de Log(n)/2.

Merci de votre aide,

Esteban

[Esteban19]

Bonjour,
voici en résumé la solution que je propose à mon problème. Je la soumets à votre infinie ressource et sagacité !

Etape 1 : loi de Poisson des mères
Dans la littérature (voir par ex polycopié de l'X par Sylvie Méléard), on trouve que la loi multinômiale pour les filles équivaut à une loi de Poisson pour les mères : chaque femme engendre p filles selon une loi de Poisson de paramètre m.
Chaque femme a donc une probabilité exp(-m) de ne pas avoir de filles.

Etape 2 : probabilité que k femmes parmi les n n'aient pas de filles
On choisit les k femmes sans filles ; le nombre de filles des n-k femmes restantes qui suit une loi de Poisson de paramètre (n-k) doit donc être égal à n.
Proba(k) = exp(-mk) C(n,k) exp[-m(n-k)] [m(n-k)]^n / n ! où C signifie combinaison.
Proba(k) = [(n-k)^n / (k ! (n-k)!)] exp(-mn) . m^n
Il s'agit donc de trouver la valeur de k qui maximise la première partie de cette expression, A.
A = (n-k)^n / [k ! (n-k)!]

Etape 3 : Logarithme et formule de Stirling
En supposant n et k grand afin d'utiliser l'approximation : Log(a!) # a log(a) – a
B = Log A = k [Log(n-k) – Log(k)] + n
On dérive pour obtenir kmax
B' = Log[(n-k)/k] – [k/(n-k)] -1 = 0

Etape 4 : Résolution numérique
En posant u = k / (n-k), cette équation devient :
u + Log(u) = -1
Numériquement on obtient u = 0,28 n et donc k = 0,219 n.
Environ 22% des femmes n'auront pas de filles (ou plus précisément c'est la valeur la plus probable).

Bien cordialement,
Esteban

[Esteban19]

PS : Je précise qu'il ne s'agit pas là d'une démonstration mathématique complète. C'est plutôt un raccourci de "physicien".