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Vieux 30/04/2005, 18h12
Wenceslas
Invité
 
Messages: n/a
Par défaut surface et volume d'un cône oblique à base elliptique

Bonjour,

Concernant le cône oblique (sommet non sur l'axe passant par le centre de la
base, qui est une ellipse) j'aimerai calculer sa surface (ne comprenant pas la
surface de la base) ainsi que son volume.

Soit a le demi petit axe, b demi grand axe, S le sommet, H sa projection sur le
plan contenant la base, soit h=SH

J'ai vu dans un bouquin que son volume etait
V=Pi*ab/h²*int((h-z)²*dz,z=0..h) =(1/3)*Pi*ab.
Pouvez vous m'expliquer comment obtient on cette formule?

Et puis, comment calcule t on la surface?

merci






 
Vieux 30/04/2005, 18h12
AG
Invité
 
Messages: n/a
Par défaut Re: surface et volume d'un cône oblique à base elliptique

Wenceslas wrote:
> J'ai vu dans un bouquin que son volume etait
> V=Pi*ab/h²*int((h-z)²*dz,z=0..h) =(1/3)*Pi*ab.
> Pouvez vous m'expliquer comment obtient on cette formule?

Cette formule est fausse (du moins son résultat) car elle n'est pas
homogène. Un volume est homomgene a des distances au cube. hors ta
formule (Piab/3) est homogene a une surface (distance au carré).

l'aire de la surface d'une ellispse se déduit de celle d'un cercle de
rayon b par une affinité de rapport a/b

Aire du cercle de rayon b : Pi*b²
rapport de l'affinité : a/b
Aire de l'ellipse : Pi*b²*a/b=Pi*a*b

C'est bien homogene a une surface (distance au carré).

Pour calculer le volume, imagine le cone comme étant une superposition
d'élipses dont les dimmensions a' et b' dépendent de la hauteur dans le
cone. si z est l'altitude de l'ellipse de paramètres a' et b', d'aprés
le théoreme de thales :

z/h = a'/a = b'/b

l'aire de l'ellipse à l'altitude z est donc : Pi*a'*b'=Pi*ab*z²/h²

En sommant toutes ces aires pour tous les z possibles (de 0 à h), on
obtient le volume de l'ellipse :

V=Pi*ab/h²*int(z²*dz,z=0..h)=Pi*ab*h/3

Le résultat est bien homogene à un volume (distance au cube).

C'est assez clair ?

PS : int((h-z)²*dz,z=0..h)=int(h²*dz,z=0..h)

Alexandre.

 
Vieux 30/04/2005, 18h12
philippe 92
Invité
 
Messages: n/a
Par défaut Re: surface et volume d'un cône oblique à base elliptique

Bonjour,

AG a écrit:
> Wenceslas wrote:
>
>> J'ai vu dans un bouquin que son volume etait
>> V=Pi*ab/h²*int((h-z)²*dz,z=0..h) =(1/3)*Pi*ab.
>> Pouvez vous m'expliquer comment obtient on cette formule?

>
> Cette formule est fausse (du moins son résultat) car elle n'est pas
> homogène. Un volume est homomgene a des distances au cube. hors ta
> formule (Piab/3) est homogene a une surface (distance au carré).


AMHA c'est une erreur typo dans la recopie... (h a disparu)

> l'aire de la surface d'une ellispse se déduit de celle d'un cercle de
> rayon b par une affinité de rapport a/b
>
> Aire du cercle de rayon b : Pi*b²
> rapport de l'affinité : a/b
> Aire de l'ellipse : Pi*b²*a/b=Pi*a*b
>
> C'est bien homogene a une surface (distance au carré).
>
> Pour calculer le volume, imagine le cone comme étant une superposition
> d'élipses dont les dimmensions a' et b' dépendent de la hauteur dans le
> cone. si z est l'altitude de l'ellipse de paramètres a' et b', d'aprés
> le théoreme de thales :
>
> z/h = a'/a = b'/b


En mettant le cone sur sa pointe...
d'habitude on le met sur sa base et (h-z)/h = a'/a = b'/b

> l'aire de l'ellipse à l'altitude z est donc : Pi*a'*b'=Pi*ab*z²/h²
>
> En sommant toutes ces aires pour tous les z possibles (de 0 à h), on
> obtient le volume de l'ellipse :
>
> V=Pi*ab/h²*int(z²*dz,z=0..h)=Pi*ab*h/3
>
> Le résultat est bien homogene à un volume (distance au cube).
>
> C'est assez clair ?
>
> PS : int((h-z)²*dz,z=0..h)=int(h²*dz,z=0..h)


Le même calcul (chaque tranche = homothétie de la base, de centre S,
de rapport (h-z)/h) donne pour un "cone", de base patatoïdique d'aire B,
V = B*h/3
Le fait que le cone soit incliné ou non n'intervient pas : imagine une
pile de rondelles que tu fais glisser les unes sur les autres...

Quant à la surface...
beurk.
Déjà elle dépend de la position "horizontale" du sommet et prend toutes
les valeurs entre un min (si S se projette au centre de la base) et
l'infini (si S est loin sur un plan parallèle à la base, à hauteur h)

L'intégrale pour la calculer n'est pas sympa du tout...
prendre un élément de longueur ds sur l'ellipse, calculer la distance l
au sommet S, et intégrer (1/2)*l*ds
En appelant c la distance horizontale du sommet au centre de l'ellipse
je trouve :
f(t)=sqrt( (a²cos²(t)+(b*sin(t)-c)²+h²) * (a²sin²(t)+b²cos²(t)) )
A = (1/2)*int(f(t), t=0..2pi)
bon courage...

--
philippe
(chephip à free point fr)

 
 

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