Enigme

Bonjour à tous !
J'ai une enigme sympa pour vous :

Lorsque Carole avait un an de plus que l'âge que Rémi avait quand Carole avait deux fois l'âge que Rémi avait quand Carole avait la moitié de l'âge que Rémi a maintenant, Rémi avait la moitié de l'âge que Carole avait quand Rémi avait la moitié de l'âge que Carole a maintenant.
Une de ces personnes (au moins) est dans la soixantaine.
Quel est donc l'âge de Rémi et celui de Carole ?

J'ai trouvé "Carole : 28" et "Rémi : 24" mais il est précisé que l'un d'entre eux est dans la soixantaine donc c'est faux.

Est-ce que vous voulez bien m'aider ?

Hello, moi j'ai 22r+4=19c, mais bon, je n'aime pas trop cela!

Si c'est bon, d'après l'agorithme d'Euclide,

19*7-22*6=1 donc
19*28-22*24=4, mais ce ne sont pas les seules solutions: en effet
19*(22k)-22*(19k)=0

Donc par somme,
19*(28+22k)-22*(24+19k)=4

c=28+22k
r=24+19k

avec k=1, personne n'a la soixantaine!
avec k=2 cela donne c=72 et r=62, cela marche
après, plus personne ne sera dans la soixantaine.

Je propose donc 72 ans pour Carole et 62 ans pour Rémi...

bonne chance pour votre concours :happy2:

Woaa, t'es doué !
Effectivement ça a l'air tout exact.
Merci beaucoup !
Si j'ai d'autres problèmes, je viendrais vous voir.

Rebonjour à tous !
Je reviens parce que depuis un moment je bloque sur trois autres problèmes, vous pourrez peut-être les résoudre. Les voici :

La première :

Voici une pyramide :
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
... ... ... ... ... ... ... ... ...

Si on la continuait, quelle serait la somme des termes de la 230ème ligne de cette pyramide ?

Il y a bien un moyen de la faire sans écrire tout les chiffres jusqu'à la 250e ligne j'espère... Je pensais qu'en faisant un programme ce serait surement possible mais... je ne sait pas faire de programmes.


La deuxième :

Soit u un nombre, 1 < u < 5000
Si l'on divise u par 2, 3, 4, 8, 9, 10, ou 13, le reste est toujours égal à 1.
Quel est la valeur de u ?

Bien sure, j'en a déduit que u - 1 est un multiple de 2, 3, 4, 8, 9, 10, et 13 mais ça ne m'avance pas tellement en fait...


Et la troisième, que j'ai aussi trouvé sur un site :

Voici une suite : 1 - 1 - 2 - 2 - 3 - 4 - 4 - 4 - 5 - ... - ... - ... Il faut trouver les trois nombres qui suivent.

J'attend vos réponses, mais n'oubliez pas d'expliquer comment vous faite parce que je tient à comprendre tout de même :happy3:

La pyramide :

On considére que la première ligne représente la ligne 0 :

Les éléments sont clairements des nombres impairs.
Sur la ligne i, il y a i+1 élements et celle ligne commence par 2*i+1

Donc la 230_ème ligne contient 231 nombres impairs.
Et la ligne 230 commence par le nombre 461.

Reste à calculer

Enigme 1,
à vue d'oeil la somme des lignes est 1;8;27;64... les premiers cubes.
Je propose donc 230^3 . Ce ne sera pas difficile à démontrer (si c'est vrai :we: )

Enigme 2

l'idée repose sur le fait que si a et b sont premiers entre eux (PGCD=1) alors lorsque a divise N et b divise N, le produit ab divise également N

Il faut utiliser le fait que
8 divise u-1 (cela implique les réultats pour 2 et 4)
9 divise u-1 (du coup 3 aussi)
13 divise u-1
5 divise u-1 (car on sait que 10 divise u-1) [je n'ai pas mis 10 car il n'est pas premier avec 8 et je veux utiliser mon théorème]

Du coup u-1=8*9*13*5*k
u=4680k+1

d'où u=4681

Enigme 3: je déteste cela! demandez à notre aviateurpilote!

Joker62 a écrit:Sur la ligne i, il y a i+1 élements et celle ligne commence par 2*i+1

Je crois qu'il y a i éléments sur la ième ligne (si on commence à 1)
et je ne pense pas qu'elle commence par 2i+1, car cela donnerait 3, 5 7, 9 et ce ne sont pas les débuts de ligne
1 terme pour la première
2 termes pour la 2
3 termes pour la 3
...
n-1 termes pour la n-1

Bilan: 1+2+3+...+(n-1)=(n-1)*n/2 termes dans les n-1 premières lignes de la pyramide.
la n-ième commence donc par le [(n-1)*n/2+1]ème nombre impair
c'est à dire 2*[(n-1)*n/2+1]-1 ou encore n(n-1)+1

A la fin de la ligne, on a le précédent de (n+1)n+1, c'est à dire (n+1)n-1

La somme fait donc
S=[n(n-1)+1]+...+[(n+1)n-1]

somme des termes d'une suite arithmétique:
S=(nb de termes)*(moyenne des termes extrêmes)
S=n*[n(n-1)+1+(n+1)n-1]/2
S=n*[2n²]/2
S=n^3

Ca a l'air bon!

Effectivement tout à l'air bon. J'avais pas pensé à réfléchir dans ce sens. Vous êtes vraiment doués !
Il y a juste un truc que j'ai pas compris dans la pyramide :

Joker62 a écrit:Et la ligne 230 commence par le nombre 461

Comment tu trouve ce nombre ?

Je pense que Joker s'est trompé:

d'après mon raisonnement, la 230ème ligne commence par 229*230/1+1 soit 26336!

En effet j'me suis planté ! :(
Moi les pyramides hein :D

Tu as une idée, Joker, pour l'enigme 3?

NB J'ai envoyé un mail à Aviateur pour qu'il regarde cela...

J'ai jamais rien compris aux suites logiques lol :D
D'ailleurs moi-même j'suis pas logique, donc bon :)

Joker62 a écrit:Moi les pyramides hein

Pyramides, pyramides... restons modestes: c'est un banal triangle, non? :happy2:

Syndrôme du mouton tu connais ??? :D
J'ai répêter l'énoncé sans le corriger :(

Moi aussi, il faut croire que cela nous donnait de l'importance! :zen:

C'est vrai que "pyramide" ça fait tout de suite plus classe que "triangle"

J'ai trois "petits calculs" à vous proposer. Sa fait un moment que je planche dessus et j'ai les yeux qui croisent... Les voici :

La mouche :
Deux gares sont distantes de 1000 km. Elles sont reliées par une double voie de chemin de fer. Un jour, à 14 heures, deux trains, roulant chacun à 200 km/h quittent chacune de ces gares en direction de l'autre. Une mouche, dont la vitesse est de 400 km/h commence alors à faire un aller-retour entre ces deux trains sans s'arrêter. Lorsque ces deux trains vont se croiser, quelle distance la mouche aura-t-elle parcourue ?

L'encyclopédie :
Une encyclopédie en dix volumes est rangée dans l'ordre sur une planche de bibliothèque. Chaque volume est épais de 6,5 cm pour les feuilles et de deux fois 0,25 cm pour la couverture. Un ver né en page 1 du volume 1 se nourrit en traversant perpendiculairement et en ligne droite la collection complète et meurt à la dernière page du dixième volume.
Quelle distance aura-t-il parcourue pendant son existence ?
Non, la réponse n'est pas simple, il y a bien une subtilité...

Le nenuphar :
Un nénuphar se trouve dans un étang. Chaque jour il double de grandeur. Le premier jour, il occupe une surface de 10 cm², le deuxième jour une surface de 20 cm², le troisième jour une surface de 40 cm², et ainsi de suite.
En 100 jours, ce nénuphar a couvert tout l'étang.
S'il y avait eu 4 nénuphars, combien de temps auraient-ils mis pour couvrir l'étang ?

L'énigme 1 est assez simple si on la prend dans le bon sens:
Au bout de combien de temps les deux trains se croiseront-ils?
Pendant ce temps, connaissant la vitesse de la mouche, vous n'aurez aucune difficulté à déterminer la distance parcourue...

Enigme 2

Je proposerais:
8*6,5cm pour les pages (quand ils sont rangés, la première page du premier volume est à droite et la dernière du dernier à gauche, si bien que les pages des volumes extrêmes ne seront pas traversées par le ver) :hum:

9*2*0,25 pour les couvertures

52+4,5=56,5 cm