Le jeu qui rend fous les Français

Vous connaissez sans doute le jeu télévisé A prendre ou à laisser ?

On va simplifier les données du jeu:

Il y a vingt boîtes numérotées, et une seule d'entre elles contient de l'argent : 1 million d'euros.

Au début de la partie on attribue une boîte au joueur (déterminée aléatoirement par l'ordinateur d'après ce qu'ils disent), on lui associe le numéro 1, puis les dix-neuf autres boîtes lui sont présentées.

Au cours du jeu le joueur va éliminer des boîtes jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'une.

Là le présentateur, Arthur, lui demande si il désire échanger sa boîte qui lui a été attribué au début de la partie contre la seule restante.


Exemple de partie:

Le joueurs élimine dans l'ordre les boîtes suivantes: 5, 7, 20, 11, 2, 10

Le million était dans la boîte numéro 10 donc il a perdu !

Autre exemple, celui auquel on s'interesse: 7, 6, 8, 2, 18, 16, 19, 12... 14

Aucune boîte éliminée ne contient le million et il ne reste plus que la boîte numéro 3 et celle du joueur la numéro 1.

Alors Arthur pose sa question: Voulez-vous échanger votre boîte contre la numéro 3 ou garder la votre?

Et là est ma question: Si le joueur échange sa boîte contre la numéro 3, a-t-il réellement 50% de chance de gagner le million ou plutôt 95% de chance?

Je pense que ce seraît 95% puisqu'on peut considérer la boîte numéro 1 comme "étant à l'écart des autres boîtes", ce qui signifie qu'au cours de la partie, la probabilité pour que le million soit dans la boîte du joueur est fixée à 0.05 et dans notre exemple, les probabilités des boîtes éliminées "se répercutent" sur la probabilité de la boîte numéro 3.

C'est une variante du problème de Monty Hall il me semble...
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall

Après réflexion, je crois ça fonctionne pas ici parce que c'est le joueur qui élimine les boîtes.

Comme l'exemple des chèvres et de la voiture, ça ne marche que si c'est le présentateur du jeu qui élimine la porte.

Je n'ai pas fait d'études en probabilités et statistiques ni d'études trop poussées en maths, mais je crois que c'est 50%.

D'après ce que je comprends du jeu, on peut simplifier ça au maximum pour en venir à dire qu'en fait le joueur ne fait que choisir une boîte et il voit en temps réel s'il gagne puisque s'il s'était dit au départ qu'il garderait la boîte 3, alors tout ce qu'il fait c'est qu'il élimine les boîtes une à une à savoir si son choix est le bon. Le fait d'éliminer les boîtes et de faire un choix à la fin n'est que pour l'aspect divertissant du jeu qui donne une illusion de risque et de choix déchirant, mais en réalité ce n'est pas en éliminant les boîtes une à une que cela influencera son choix final puisque ça ne donne aucun nouvel indice à savoir quelle boîte est la bonne. Alors, s'il décide de changer son choix de boîte au cours de la partie, ça ne fait que changer sa décision finale et ça revient au même que s'il avait préféré cette boîte depuis le début.

Je vois ça de deux façons : Il y a les probabilités du départ que je garde toujours fixes et les probabilités en fonction du nombre de boîtes restantes.

Bref, au début, chaque boîte a 5% de chances contenir le prix, ce qui implique que le joueur a 5% de chances de perdre dès le départ et donc 95% de chances de faire le bon choix. Ça, ce sont mes valeurs fixes.

Ensuite, il y a mes valeurs variables en fonction du nombre de boîtes restantes.
Au début, on le sait, il a 5% de chances de se tromper (1/20) et donc 95% de chances de faire le bon choix (19/20).
Ensuite, il élimine une boîte, il y a donc relativement 5,263% de chances de se tromper (1/19) et donc 94,737% de chances de faire le bon choix (18/19).
Ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste que deux boîtes, donc 50% de gagner (1/2).

Je ne vois pas comment les probabilités que ce soit la boîte restante soient de 95%, et donc seulement 5% pour la boîte qu'il a... Oui, lorsqu'une boîte est éliminée, les probabilités se répercutent, mais pas toutes sur la même boîte, pourquoi donc ce serait tout sur la même boîte ? Quand la première boîte est éliminée, cette boîte qui avait 5% de chance d'avoir un prix, eh bien son 5% de chances est répercuté de façon équivalante sur les 19 autres, donc on ajoute 5%/19 aux 5% de chacune des autres boîtes, ce qui donne 5,263%, ce qui revient à dire 1/19.

Il faudrait m'expliquer un peu plus comment est-ce que vous pouvez concevoir que la dernière boîte restante a 95% de chances de contenir le prix parce que je ne le vois pas du tout. Pour moi, c'est clairement 50% / 50% parce que si on s'en tient aux probabilités du départ, les deux boîtes avaient 5% de chances de contenir un prix et puisque qu'il ne reste que celles-ci, il ne reste donc que 10% des boîtes, c'est donc 5% chacunes pour un total de 10% ce qui revient à dire 50% chacune pour un total de 100%.

Oui, c'est bien 50%, ça aurait été 95/5 seulement si c'était l'animateur qui éliminait 18 boîtes.

Mon erreur c'était qu'en considérant seulement les parties où il reste à la fin parmis les deux dernières boîtes le gain, on change les probabilités.

Non, il y a effectivement 95% vs 5% !

Voir ce que j'ai dit à la fin de mon message ici : http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=137175#post137175

Ce que je comprends pas alors, c'est que la probabilité pour que le joueur ait la bonne boîte au début est de 5%, et celle pour qu'il élimine toutes les boîtes sauf la bonne est aussi de 5% donc c'est équiprobable.

Au départ, vous avez 5% de chances que vous ayez la boîte gagnante et il y a donc 95% de chances que vous ayez une boîte vide.

Il y a donc 5% de chances que vous ayez 0% de chances de vous tromper lors de l'élimination des 18 boîtes, puisqu'il y a 5% de chances que la boîte gagnante soit la vôtre et vous ne pouvez pas éliminer la vôtre au début.

Il y a aussi 95% de chances qu'il y ait 100% de chances que la boîte gagnante soit parmi celle que vous pouvez éliminer.

Alors, puisqu'il y a 19 possibilités pour éliminer une boîte et qu'il y a 95% de chances que la boîte gagnante soit une de ces boîtes, il y a 95%/19 = 5% de chances que vous éliminiez la boîte qui contient le lot.

C'est logique, puisqu'au départ toutes les boîtes ont 5% de chances de contenir le million.

Ensuite, vous éliminez une boîte. Il reste alors 18 possibilités d'élimination et toujours 95% de chances que le million soit dans une de ces boîtes. Il y a maintenant 95%/18 = 5,2777% de chances d'avoir l'argent pour chacune des 18 boîtes.

Il y a en quelque sorte deux systèmes dans ce problème : La boîte qu'on ne peut pas éliminer qui est la nôtre et les autres boîtes qu'on peut éliminer. C'est pour cela que les chances que le lot soit dans notre boîte de varient pas, ce système reste toujours fixe et invariable tandis que l'autre système peut être modifié.

Bref, il y a :

Système 1 : 5% pour 1 boîte
Système 2 : 95% pour n boîte(s)

Enfin, je ne sais pas trop comment bien expliquer ça, je n'ai jamais fait des hautes-études en mathématiques.

Les variables de départ resteront toujours fixes : 5% pour notre boîte contre 95% pour les autres boîtes. C'est normal que lorsqu'on diminue le nombre de boîtes parmi les boîtes restantes leurs probabilités augmentent.

Ensuite, on élimine une autre boîte. Il reste 17 possibilités, donc chacune de ces boîtes ont maintenant 95%/17 = 5,588% de chances de contenir le montant.

Ainsi de suite jusqu'à ce qu'il reste 2 possibilités d'éliminations. Là est ce qui ressemble le plus à une probabilité de 50% contre 50% puisqu'il y a 95%/2 = 47,5% de chances qu'une des deux boîtes restantes à éliminer contienne le million et il ne faut pas le découvrir.

Après qu'on ait réussi à passer toutes ces étapes avec chance, il ne nous reste plus qu'à choisir entre notre boîte qui a 5% de chances d'être gagnante et la boîte restante qui a 95%/1 = 95% de chances d'être gagnante. Le plus malheureux, c'est que même si on se réjouit à l'idée qu'il y a 95% de chances qu'on gagne si on change de boîte, il restera toujours une chance qu'on se trompe, une chance restera toujours une chance...

En conclusion, le plus grand défi dans ce jeu et l'élimination des boîtes et non pas le choix final.

Pourquoi est-ce qu'il y a 5% vs 95% comme l'histoire de l'ange et les portes de l'enfer où l'on a 33,333% vs 66,666% même si pourtant dans le jeu nous ne connaissons pas ce qui se cache dans les boîtes ?

Eh bien, c'est logique !

Lorsqu'il ne reste plus que deux portes, qu'est-ce que l'ange a fait selon quelles conditions ?

L'ange a éliminé toutes (En occurence, une) les portes qui mènaient en enfer sauf celle où vous étiez et celle qui mène au paradis.

Lorsqu'il ne reste plus que deux boîtes, qu'est-ce que vous avez fait selon quelles coniditions ?

Vous avez éliminé toutes (En occurence, 18) les boîtes qui étaient vides sauf celle qui contient le million et celle que vous avez.

Vous voyez, dans les deux cas, vous respectez les même conditions lorsqu'il ne reste plus que deux choix. Ce n'est pas parce que vous n'êtes pas un ange que vous aurez moins de chances de gagner le million lorsqu'il est temps de faire le choix final...

Comme je disais, ce qui est décisif n'est pas le choix final, mais bien chacune de vos éliminations.

Poussons ça à la limite, vers l'infini. Disons qu'il y a 1 000 000 000 boîtes. Vous avez une chance sur 1 000 000 000 d'avoir la boîte gagnante dans vos mains, bref 0,000 000 001% de chances. Il y a 100% - 0,000 000 001% = 99,999 999 999% de chances que la boîte qui contient le gros lot soit parmi les autres. Vous éliminez toutes les boîtes jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que deux possibilités de boîtes à éliminer avant le choix final. Il y a donc 99,999 999 999%/2 = 49,999 999 999 500% de chances pour chacune des deux boîtes. C'est donc là où vous atteignez le sommet, l'endroit où vous avez le plus de chances de vous tromper. Si vous réussissez, il ne vous restera plus qu'à choisir entre votre boîte qui a 0,000 000 001% de chances d'être gagnante et l'autre boîte qui aura 99,999 999 999%/1 = 99,999 999 999% chances d'être gagnante...