Section d'un cube par un plan

par **redui** » 04 Fév 2010, 22:01

Bonjourà tous !

Voilà la figure :

http://nsa10.casimages.com/img/2010/02/04/100204081425728095.png

On veut déterminer la section du cube par ce plan comment faire vu que les points ne sont pas sur des arrêtes de même face ^^

Détails supplémentaires
voilà ce que j'obtiens avec geoplan....

comment le trouver ?
http://nsa11.casimages.com/img/2010/02/04/10020409253549675.png

Merci

par **redui** » 05 Fév 2010, 07:36

Eh bben dis donc on a peur de la géométrie dans l'espace par ici ? --'

par **oscar** » 05 Fév 2010, 10:03

figures

http://yfrog.com/b6interplansj

par **jamys123** » 05 Fév 2010, 11:06

redui a écrit:Eh bben dis donc on a peur de la géométrie dans l'espace par ici ? --'

c'est clair, on chie de trouille...

par **Ben314** » 05 Fév 2010, 12:06

Pour que l'on ne puisse pas dire que je te "donne" la réponse, j'ai pris des point différents des tiens et (pour le moment), je ne donne pas d'explication.
Essaye de comprendre pourquoi ça marche...

P.S. : Honètement, ça m'a demandé un peu de réflexion.... :hein:

par **redui** » 05 Fév 2010, 12:35

je vois comment tu as procédé as tu utilisé la verticale pour placer un point car je pense avoir trouver en traçant la verticale qui passe par K (dans mon cas) et qui coupe AB en L , puis tracer IL qui intersecte AD en N par ex. et ainsi de suite.

par **Ben314** » 05 Fév 2010, 13:12

J'ai personellement commencé par construire le point X intersection de (KI) et de la parallèle à (KB) passant par C.

Il y a évidement d'autres méthodes, mais à priori, je ne comprend pas la tienne...

par **oscar** » 05 Fév 2010, 15:38

exemple

http://yfrog.com/efcubeex2g

par **redui** » 05 Fév 2010, 18:46

J'y suis arrivé avec la technique dite plus haut voici le résultat.

http://nsa10.casimages.com/img/2010/02/05/100205062643260198.png

Il a l'air bon, cette façon de procédé est-elle la bonne ?

par **Ben314** » 05 Fév 2010, 20:39

Je ne comprend toujour pas...
Tu construit K' projeté de K sur (AB) : O.K.
Tu construit L intersection de (IK') et (AD) : O.K.
Mais ensuite, je ne vois absolument pas comment tu construit les autres points : Il me semble que M est sur la parallèle à (AE) passant par L
mais je ne vois pas comment tu le détermine vu que tu ne connait pas P...

De plus, je ne vois pas à quoi correspond le point K' et la droite (IK') par rapport au problème de départ...

En résumé, j'ai de gros doutes sur la méthode...

par **redui** » 05 Fév 2010, 20:43

Le plan sécant est évidemment défini par les droites IJ, JK, KI.

Commençons par chercher le point de percée de la droite IK dans le plan latéral ADEH
Pour cela, utilisons un plan auxilaire vertical :

Traçons une verticale passant par K. Cette droite est évidemment dans la face antérieure ABEF du cube. Soit M l'intersection de cette droite et de l'arête AB

IK et KM définissent un plan vertical donc IM est la trace dans le plan horizontal inférieur.
IM et l'arête AD sont fatalement dans le même plan. Prolongeons-les de manière à ce qu'elles s'intersectent. Soit N le point d'intersection.

N est donc dans le plan horizontal inférieur et dans le plan vertical latéral et dans le plan KIM.
On en déduit que la trace de KIM dans le plan latéral est une verticale passant par N (que nous traçons) Cette verticale coupe le prolongement de la droite IK. Soit P cette intersection. Puisque NP est dans le plan latéral, P est donc le point de percée de IK dans ce plan.

Le plus dur est fait, la suite est assez simple.

Puisque J et N sont dans le même plan latéral, la droite JN y est aussi. La portion de JN comprise entre les deux arètes JH et EH du cube est la trace du plan (un premier cote de l'hexagone). Appelons Q l'intersection avec EH. Q est évidemment dans le même plan que K. Par conséquent QK est la trace de notre plan dans la face supérieure du cube (deuxième côté de l'hexagone)

Nous pouvons ensuite déterminer où PJ traverse le plan inférieur du cube.
Prolongeons PJ et prolongeons AD "vers l'arrière" ces deux droites étant dans le même plan latéral, leur intersection est aussi dans le plan latéral. Toutefois, comme AD est dans le plan inférieur, cette intersection est aussi dans le plan inférieur. Soit R cette intersection.

I est également dans le plan inférieur. Par conséquent IR est la trace de plan dans le plan horizontal inférieur. Appelons S l'intersection de IR avec l'arete DC. SI est la trace de notre plan dans la face inférieure du cube (troisième coté de l'hexagone) tandis que JS est la trace de notre plan dans la face arrière du cube (quatrième coté de l'hexagone).

Nous pouvons à présent rechercher le point de percée de la droite RI dans lplan vertical antérieur.
RI et AB sont dans le même plan. Prolongeons-les jusqu'à leur intersection que nous nommons T
T et K sont dans le même plan. Par conséquent, la droite TK est la trace de notre plan dans le plan vertical antérieur.

Soit U l'intersection de TK et de l'arête FB
KU forme un cinquième côté de l'hexagone tandis que UI en est le sixième et dernier côté.

par **Ben314** » 05 Fév 2010, 21:01

Je suis en train de lire ta preuve qui m'a l'air correcte mais,
1) Ca aurait été sympa de prendre les mêmes noms pour les points que sur ta figure :cry:
2) J'ai l'impression que c'est plus ou moins la même méthode que la mienne, peut être en légèrement plus long (as tu compris ma méthode ?)

par **Ben314** » 05 Fév 2010, 21:08

Effectivement, ta preuve fonctionne : vu que tu n'avais pas tracé la droite (IK) sur le dessin, je ne comprenais pas d'où sortait ton point M sur le dessin [P dans ton texte].
En fait, ce point correspond au point X de mon dessin qui est l'intersection (sur mon dessin) de la droite (IK) et du plan "arrière" (CDHG)

Donc les deux méthodes fonctionnent (il y en a surement d'autres)
MAIS, je pense que la mienne demande moins de traits de constructions... :we:

par **redui** » 05 Fév 2010, 21:23

Oui désolé lorsque j'écrivais le texte je regardais la figure avec les seuls point I,J et K^^

Sinon merci pour ton aide, ma technique est en effet trop longue je vais me pencher sur la tienne afin d'avoir un autre support de justification et de construction.

par **Ben314** » 05 Fév 2010, 22:46

Le principe est fondamentalement le même que pour ta méthode :
On considère le plan (KBC). Il contient la droite (KI) et la parallèle à (KB) par C donc ces deux droites sont concourantes en un point X.
X est dans le "plan de coupe" car il est sur (KI) et il est aussi sur la "face arrière" car il est sur la parallèle à (KB) passant par C.
Par définition, le point J est lui aussi dans le "plan de coupe" et sur la "face arrière" donc la droite (XJ) est l'intersection du "plan de coupe" et de la "face arrière".
On en déduit ensuite la position de L (intersection de (JX) avec (DC)) puis tout les autres points :
1) Soit en traçant les intersections du plan de coupe avec las arrêtes (GC), (GH) et (GF) [triangle bleu clair du dessin]
2) Soit en traçant les intersections du plan de coupe avec las arrêtes (AB), (AD) et (AE) [triangle vert du dessin]
3) soit en utilisant le fait que les droites (IL) et (KM) sont parallèles ainsi que (IN) et (JM) et aussi que (JL) et (KN)

Soit en mélangeant un peu les trois méthodes (pour varier les plaisirs...)

Section d'un cube par un plan

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