Question de Logique

[Manaus]

Bonjour à tous!!

Petit problème de logique à résoudre mais je ne sais comment commencer.
J'ai essayé plusieurs choses mais ça part dans tous les sens sans arriver au bon résultat.

Je dois utiliser des équivalences logiques pour prouver les suivantes:

(pVq);) (pVr);)(qVr) (p q)V(p r)V(q r)

( p q r) V ( p q r) V ( p q;) r) V (p q r) p q r


Merci d'avance pour votre aide et votre gentilesse :we:

[Frede]

Je suis habitué à une autre notation qui facilite beaucoup les choses:

non p s'écrit

p V q s'écrit pq

p V renversé q s'écrit p+q

Avec cette notation, ta 1ère question s'écrit:

Démontrer que:
pq + pr + qr = (p+q) (p+r) (q+r)

Il suffit d'effectuer les produits du second membre et on obtient:
(p² + pr +pq +qr)(q+r)
p², c'est p et ce p mange les pr et les pq. Il ne reste donc plus que:
(p + qr)(q+r)
qui est égal à:
pq+pr+q²r+qr²
q²r et qr², c'est qr. On retrouve donc bien le 1er membre: pq + pr +qr

Le second exercice n'est pas plus difficile. Je trouve que le membre de gauche se réduit à néant (car = 0)
Je ne sais pas ce que veut dire le symbole + entouré d'un cercle. Pourrais-tu me le dire ?

[Manaus]

Merci pour ta réponse!
Je n'avais jamais pensé à cette notation mais c'est vrai que ça facilite la compréhension.

Le + entouré d'un cercle correspond au xor ("ou exclusif")

[Manaus]

Le second exercice n'est pas plus difficile. Je trouve que le membre de gauche se réduit à néant (car = 0)
Je ne sais pas ce que veut dire le symbole + entouré d'un cercle. Pourrais-tu me le dire ?

Le xor peut s'écrire p q = p q V p q ce qui se rapproche plus du membre de gauche sous cette forme.

Est ce que p q + pq = 0 ?

[Frede]

Je reprends mon système d'écriture sans laquelle je suis paumé.

Est-ce que ?

Certes pas. ,c'est l'univers débarrassé de p et de q
et pq, c'est l'intersection de p et q.

De toutes façons, une somme ne peut pas donner 0. Par contre, le produit de ces 2 termes est bien égal à 0.

J'ai fait le 2ème exercice. Je te donnerai la solution si vraiment tu n'y arrives pas.

p xor q, pour moi, c'est la différence symétrique: l'union de 2 ensembles moins leur intersection, ce qui malheureusement ne peut pas s'écrire (p+q) - pq car le signe moins n'existe pas. On est obligé de l'écrire

[Manaus]

Merci pour ta réponse et ta gentillesse :) j'essaye de le refaire avec ce que tu m'as dit et te redirai si je n'arrive pas.

[Manaus]

Je reprends mon système d'écriture sans laquelle je suis paumé.

Est-ce que ?

Certes pas. ,c'est l'univers débarrassé de p et de q
et pq, c'est l'intersection de p et q.

De toutes façons, une somme ne peut pas donner 0. Par contre, le produit de ces 2 termes est bien égal à 0.

J'ai fait le 2ème exercice. Je te donnerai la solution si vraiment tu n'y arrives pas.

p xor q, pour moi, c'est la différence symétrique: l'union de 2 ensembles moins leur intersection, ce qui malheureusement ne peut pas s'écrire (p+q) - pq car le signe moins n'existe pas. On est obligé de l'écrire

C'est énervant mon résultat est proche mais je n'arrive pas à trouver le bon résultat!
Je pense que je fais des erreurs lors du développement du xor de R avec le reste.

[Manaus]

Frede pourrais-tu me donner la solution que tu as trouvé? :s

[Manaus]

Frede pourrais-tu me montrer la solution que tu as trouvé s'il te plais? :s

[Frede]

J'espère que tu as cherché !

L'énoncé est:


( p q r) V ( p q r) V ( p q;) r) V (p q r) p q r

soit

soit en effectuant: (1er membre seulement)


soit en simplifiant: (chaque terme mange ses multiples: p mange pq et pr)


Continuons en multipliant les deux premiers termes entre eux:


soit en simplifiant:


et finalement


soit en simplifiant:


Le 1er terme représente la partie "propre" de r, c'est à dire r débarrassé de ses intersections avec p et q,
le 2ème terme représente la partie "propre" de q, c'est à dire q débarrassé de ses intersections avec p et r,
le 3ème terme représente la partie "propre" de p, c'est à dire p débarrassé de ses intersections avec q et r.

La somme de ces trois morceaux représente bien la différence symétrique de p,q et r. Le dernier terme rpq m'embête. On verra ça demain. En attendant, tu peux vérifier tout ce qui précède.

[Manaus]

J'ai vraiment cherché tu peux en être sur.

Merci beaucoup pour ton aide, tes conseils et le travail que tu as fais!! Je devrai m'en sortir avec tout ça :)

[Frede]

Parfait. De mon côté, la nuit m'a porté conseil et finalement, je trouve normal ce petit morceau pqr fasse partie de la différence symétrique des 3 ensembles.

Si tu veux t'en convaincre, dessine 2 ensembles p et q. Puis avec un crayon, grisonne-les. L'intersection pq aura été grisonnée 2 fois: refais-la blanche.
Puis dessine le 3ème ensemble r et grisonne-le. Tu verras que les intersections pr et qr auront été grisonnées 2 fois à l'exception d'un tout petit morceau: l'intersecton des 3 ensembles, le pqr. Donc ce morceau fait partie de la différence symétrique, il n'y a pas d'erreur dans le calcul.

Bon courage. Si tu ne comprends pas certaines simplifications, n'hésite pas à placer un message.